让初中数学课堂充满“驯服”的温润感——例谈巷议说“三懂”

☉江苏省张家港市梁丰初级中学 邵美琴

记得童话《小王子》中最为经典的对话之一就是小王子和狐狸的对话.狐狸说：“驯服的意思就是建立联系.”“只有被驯服了的事物，才会被了解.”“实质性的东西，用眼睛是看不见的.”“现在要对你驯服过的一切负责到底.你要对你的玫瑰负责……”“仪式，它就是使某一天与其他日子不同，使某一时刻与其他时刻不同.”试想，如果我们的初中数学课堂也在学生、教师、数学内容、思想方法之间建立联系、互相“驯服”，课堂上充满仪式感，师生都有责任感，教与学中的知识、思想、方法，都能用心去把握，那是不是一幅充满温润感的美好画面？这就需要教师做到三个懂得：懂得放手、懂得容错、懂得共情.只有这样，才能让学生在愉悦、温馨的数学课堂中感悟知识、接受知识；才能实现真正意义上的师生都能用心去思考，用爱去感受，用情去包容.让初中数学课堂真正从有效走向高效.

一、懂得放手，方有思辨

在初三复习备考时，学生经过系统的学习，已经有了一定的知识积累，分析问题、解决问题的能力也有了相应的提高.教师在注重例题的分析、讲解的同时，在课堂上给学生留下独立思考的时间是必需的，而思考之后的交流是必要的，这是促进学生深层次思维、提升解题能力的保障，也是提高复习课效益的重要途径.古希腊著名的哲学家苏格拉底说过：“答案本来就在学生的头脑之中，教师的作用无非是启发诱导，使学生最终凭借自己的头脑完成对某一个问题的解决.”在下面的教学案例中，我们可以看到：教师舍得在课堂上留出时间让学生充分思考和交流，并适时启发诱导、提供帮助，把全部（或一部分）本来就在学生头脑之中的答案，由学生最终凭借自己的头脑完成对问题的解决，其中充满了思辨的价值、方法的归纳、学习的感悟.

教学案例1：“四边形”复习课教学片段.

例1如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=6，求四边形ABCD的面积.

师：请大家先独立思考，然后全班交流.

（学生读题、思考，教师巡视）

生1：由于题中线段长度只有AC=6是已知的，所以可以考虑转化的策略，把四边形ABCD分割为两个小三角形来解决求面积的问题.考虑把AC作为两个三角形的底边，目标就再次转化为求AC上的两条高，再结合题中其他条件探究得三角形全等，寻求突破.

图1

图2

生1：如图2，分别过点B、D作AC的垂线，垂足分别为E、F，连接BD.

因为BE⊥AC，DF⊥AC，所以∠AEB=∠DFA=90°，从而∠ABE+∠EAB=90°.

因为∠BAD=90°，所以∠EAB+∠DAF=90°，所以∠ABE=∠DAF.

又因为AB=AD，所以△ABE △DAF，从而BE=AF.

因为∠BAD=∠BCD=90°，所以∠BAD+∠BCD=180°，故四边形ABCD是圆的内接四边形，所以∠ACD=∠ABD.

因为AB=AD，∠BAD=90°，所以∠ACD=∠ABD=45°，所以△CFD是等腰直角三角形，从而DF=CF.

评注：此解法巧妙构造了一对全等三角形，将分割后的两个三角形的高之和 “BE+DF”转化为已知条件“AC=6”，问题轻松得解.在解答过程中，我们还证得了“四边形ABCD是圆的内接四边形”这一结论，并利用圆的相关性质，得到了“△CFD是等腰直角三角形，即DF=CF”这一结论，从而使得上述转化自然、顺畅，这样的论证过程，对学生几何推理能力的培养是十分有益的.

生2：我的方法是利用割补法及全等的知识，将不规则图形转化为特殊的规则图形，利用公式求得相应的面积.

生2：如图3，过点A分别作线段BC、线段CD延长线的垂线，垂足分别为G、H.

因为AG⊥BC，AH⊥CD，所以∠AGB=∠DHA=90°.

又因为∠BCD=90°，所以∠GAH=90°.从而四边形AGCH是矩形.

因为∠BAD=90°，∠GAH=90°，所以∠BAG=∠DAH.

因为AB=AD，所以Rt△ABG Rt△DAH，所以AG=AH，从而四边形AGCH是正方形.

所以S四边形ABCD=S正方形AGCH=18.

评注：利用“分割”和“补形”是求解图形面积最常用的方法之一，“补形”相对而言更难一些，需要学生有较好的想象能力.在对解题方法归纳小结时，我们可以告诉学生：Rt△DAH也可以看作Rt△ABG按逆时针方向旋转90°得到的，这样的“补形”是自然的、直观的、有依据的.当然，利用旋转来求四边形ABCD的面积，学生是能想得到的，请看以下学生提供的解法.

生3：由于AB=AD，因此，我们可以考虑利用图形的旋转，将“求四边形ABCD的面积”转化为“求某个三角形的面积.”

师：这样的转化必须满足如下条件：（1）将四边形的一部分旋转一定角度后，与余下的部分能拼接成某个三角形；（2）拼接成的某个三角形面积能求解.

图3

图4

生3：如图4，因为AB=AD，∠BAD=90°，将△ACD绕点A按顺时针旋转90°得到△AC1B.

因为∠BCD=90°，∠BAD=90°，所以∠BAD+∠BCD=180°，从而∠ABC+∠ADC=180°，于是∠ABC+∠ABC1=180°.

所以C1、B、C三点在同一直线上，故

评注：旋转是图形变换的重要手段之一，在作旋转图形时，首先，要把握旋转中心和旋转角度这两个元素，其次，要抓住相等的边，使得图形旋转后能“无缝对接”.在本例中，我们也可以将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADC2（如图5），求解过程类似解法3，这里不再赘述.

周国平先生在《教育的七条箴言》中提到：“最重要的教育原则是不要爱惜时间，要浪费时间.”这一原则最初是由法国伟大的教育家卢梭提出的.教育即生长，学生必须有充裕的时间去体验和沉思，才能自由地发展其心智能力.教师要有放手的底气支撑，用心去唤醒学生参与课堂，这样，我们的课堂才有思辨，一定会精彩纷呈.

图5

二、懂得容错，方有回归

数学课堂，是迸发智慧，培养学生思维能力和创新能力的最好领地.因此，课堂中教师的大度和宽容就显得尤为重要，教师要俯下身子，通过耐心倾听而获取各种信息.叶澜教授说：“要学会倾听孩子们的每一个问题，每一句话语，善于捕捉每一个孩子身上的思维火花.”只有善于倾听，才能在学生回答正确时，予以肯定、表扬，在学生回答不完整、语言表达不清楚的地方及时指出、正确分析.更为重要的是，在学生回答出现偏差，甚至出现错误时，教师不要急于否定，有时候，一个看似浪费时间的等待，往往会赢得学生成长的时间和空间，使他们学会思索、受到启迪、慢慢成长.在七年级“一元一次不等式的应用”新课教学中，一道例题教学的展示过程，让我难以忘怀、受益匪浅.

教学案例2：“一元一次不等式的应用”教学片段.

例2把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果每人分5个，那么最后一人得到的苹果少于3个，问：有几个孩子？有多少个苹果？

生1：设有x个孩子，根据题意：3x+8-5（x-1）＜3，解得x＞5.所以x的值应当取大于5的最小正整数6.即有6个小孩，26个苹果.

生2：大于5的整数有很多，为什么只取6呢？

师：这个问题问得好，请大家议一议.

（学生七嘴八舌讨论开了，教师巡视）

生3：有一句关键话：“得到的苹果少于3个”，说明最后一个小孩肯定分到了苹果，因此上述不等式还要加上大于0，即0＜3x+8-5（x-1）＜3，这个不等式组的解集是5＜x＜6.5，此时x的整数解是6.所以有6个小孩，26个苹果.

（对于这样的解法，学生都觉得很满意）

师：还有没有其他想法？

生4：我没有用不等式求解，而是用方程组解决的，结果也是有6个小孩，26个苹果.

（其他学生都觉得不可思议，窃窃私语起来）

师：请同学们安静，生4站起来说说你是怎么想的.

生4：最后一人分得的苹果少于3个，那么只有两种可能，要么拿到1个，要么拿到2个.设有x个孩子，y个苹果，可以列出这样两个方程组：或者第一个方程组的解为第二个方程组的解为不符合题意，舍去）.

（听了生4的回答，全班学生都情不自禁给他鼓起掌来）

……

评注：看似一元一次不等式应用的问题，用方程组求得了正确的结果，似乎有点儿不可思议.试想，如果教师不蹲下身来组织学生一起倾听，岂不错过了如此精彩又有创意的想法？生2“大于5的整数有很多，为什么只取6呢”的巧妙追问，完善了问题的解答过程；教师一句“还有没有其他想法”引出了生4不同寻常的解题思路.事实上，有些原本以为错误的观点、方法，往往蕴含着学生独特的创新思维，教师不能以自己的经验和思维方式来垄断孩子们天真的、充满智慧的思考方式.

实践表明：不管课堂上出现生成与预设的冲突，还是解题思路出现方向性不同，教师都要表现出应有的宽容，及时抛开预设，懂得“容错”，认真倾听，起到表率的作用，这样才能营造出良好的、浓郁的学习氛围，学生在潜移默化中学会倾听、用心倾听、乐于倾听、善于倾听，促进生生之间、师生之间的交流与沟通，最终实现教学相长.同时能培养学生勇于探索的精神，深入挖掘教学资源，促进学生加深对数学知识、数学思想的理解与掌握，真正回归以生为本的理念.

三、懂得共情，方有长远

我们知道，随着课改的不断深入，广大教师的教学能力有了很大的提高，教学艺术也在不断完善，同时，学生的“品课”水平也有了大幅度的提高.这就要求教师在设置教学内容、安排教学流程、设计师生活动时，悉心研究、精心谋划、科学配置，力求独具匠心.在我看来，初中数学的教学设计可以适当增加一些人物故事、诗词歌赋、名人名言、数学实验、其他学科知识等内容，让教学内容、教学过程、数学探究、师生活动更加丰富多彩；让我们的数学课堂更有故事感、娱乐感、仪式感和意义感；让我们的学生在学习知识的同时，更轻松、愉悦，有幸福感.下面是我开设的一节大市级公开课的教学设计及部分教学片段，与大家共享.

教学案例3：“解一元一次不等式（1）”教学设计及部分教学片段.

1.情景导入，激发兴趣（课前出示一首小诗）

五月，春去夏来，让我们在安静中，不慌不忙地变好和成长，直至，盼得流年岁月长，守得云开见天晴，只要你相信，诗和远方依旧是生活的光.

师：下面请大家欣赏两首诗，第一首请语文课代表朗读一下：黄河走东溟，白日落西海.逝川与流光，飘忽不相待.（李白——《古风》）

师：第二首请大家齐声朗读一下：白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼.（王之涣——《登鹳雀楼》）

师：它们有什么共同点吗？

生：都描写了黄河与白日.

师：是呀，古人在创作的时候，常常采用“引用、化用”的方式来达到创新的目的，同时能引起读者的共鸣.正所谓“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同.”

（学生点头表示赞同）

师：事实上，学科间解决问题的策略是相通的，语文上古诗词的借用与数学上的转化、类比有异曲同工之妙用.在接下来的学习探索中，我们会有所领会.

评注：这样一个对生活充满热情和探究的老师，这样一种诗情画意的开头弥散于整节课的开头，温暖而亲切，养心又怡人，强烈的画面感浸润了一种无声的爱的教育.

2.类比联想，自主生成

问题1：你还记得一元一次方程的定义吗？

问题2：今天我们将要学习一个新的知识：一元一次不等式，你能给它下个定义吗？

问题3：类比方程学习的经验，你们猜想一下，一元一次不等式会学习哪些内容？

评注：“问题串”的设计从学生最熟悉的一元一次方程入手，类比得到一元一次不等式的定义，学生感到亲切、自然，概念的学习水到渠成.借鉴方程学习的经验，联想不等式将要学习的内容：（1）解一元一次不等式；（2）用一元一次不等式解决实际问题.给学生后续的学习一种期待、信心.所以说一个好的铺垫会给你意想不到的收获，一切是那么的顺理成章.

3.交流感悟，促进生长

问题4：请你回忆解方程3x+70=100的步骤及原理，并想一想：如何解不等式3x+70＞100？需要那些步骤？每个步骤的原理是什么.

问题5：（1）解不等式14-2x≥6，并把它的解集在数轴上表示出来.

（2）变式：解不等式14-2x≥6x.

（3）练习：解下列不等式：

评注：问题4的设置是为了让学生类比一元一次方程的解法，逐步认识、掌握一元一次不等式的解法，提升学生的迁移能力.问题5的设置是为了让学生进一步熟悉解一元一次不等式的基本步骤及注意点.在练习求解后，教师可适度追问：（1）和（3）与（2）有何不同？ 对于（1）和（3），你还有其他解法吗？学生立即会想到可以与解方程一样先去分母，转化为（2）的形式求解，再次体会借鉴的力量，呈现解法的多样性.

4.深入探究，丰富内涵

问题6：解不等式10（x+4）+x≤90，并写出它的非负整数解.

问题7：若不等式3x-2＞a+2x的解集是x＞1，求a的值.

变式1：若不等式ax+2≥a+2x的解集是x≤1，求a的取值范围.

变式2：若不等式ax+1≥3a+2x的解集是x≤2，求a的值.

评注：问题6的设置看似难度加大了，但是对于学生巩固已学知识、应用已学知识是有益的.利用数轴寻找符合题意的非负整数解，让学生体会前后知识的联系，突出抽象与直观的融合，数与形的巧妙结合.问题7的解决，让学生充分认清了不等式的解集与相应方程的解的关系，通过变式训练，让学生进一步认识了不等式的性质在解一元一次不等式时的重要性，丰富了表达式知识的内涵，使得这节课的数学探究活动达到了高潮，充满了思辨.

5.归纳小结，教学相长

问题8：请你谈一谈本节课的收获与感想.

生1：今天学习了不等式的概念、利用不等式的性质解简单的不等式，认识了不等式的整数解、解集的简单应用.

生2：今天学习不等式的流程是“定义—解法—简单应用”，为我们今后学习其他数学知识提供了研究的途径.

生3：今天使用到的数学思想方法：类比、转化、数形结合，为我们今后解决其他数学问题提供了解题的策略.

师：今天这节课实现了两个迁移：（1）从生活向数学的迁移，（2）从方程向不等式的迁移.正是这层层迁移化解了教学的难点，落实了教学的重点，完成了教学的目标.

师：习近平在2018年博鳌论坛开幕演讲中说：“他山之石，可以攻玉”“积土而为山，积水而为海”“成功属于勇毅而笃行的人”.这三句话分别对应着三种力量：“借鉴的力量”“累积的力量”“行动的力量”，就是在勉励大家要掌握方法、日积月累、勇敢前行！这就是仪式的威力！只有我们共同用情投入，才能共建美好的、温情的数学课堂.

评注：学生简短的归纳小结，将知识、方法做了很好的梳理；教师的“两个迁移”把过程、策略做了有效的提炼，特别是最后一段充满力量的结束语，让数学课堂突然变得有仪式感，有爱、有情、有温暖，有诗意，有远方.

德国哲学家雅思贝尔斯说：“什么是教育？就是一颗树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂.”而灵魂的唤醒，需要放手的底气、容错的情怀、建立仪式的意识.让我们不懈努力，谨怀深深的责任感，去营造一个充满生机感和幸福感的教育小世界，营造一个个充满灵性的，具有“驯服”温润感的初中数学课堂，和谐、温馨、有哲理、有创造.W