类比教学在数学课堂教学中的运用

☉江苏省无锡市东绛实验学校 薛 莺

☉江苏省无锡市太湖格致中学 陈 锋

一、问题的提出

类比是数学学习的一种有效方法，它在学生数学知识的学习、数学能力的培养、实际问题的解决等方面都有着重要意义.当前，类比教学已成为初中数学课堂教学的重要手段之一.在数学课堂教学中，如何从学生已有的认知基础出发，通过类比进一步激发学生的认知体验，完成对数学知识和解决问题能力的有效改进，是数学教师需要不断研究的问题.现在结合课堂教学的实践，将类比教学的体会和思考述至成文，欢迎各位批评指正.

二、类比教学的理论与模式

1.数学类比教学的理论依据

数学类比教学是指在数学课堂教学中，根据两类不同本质对象之间的相似性，通过新、旧知识结构的相似点，用旧知识进行横向的联系和对比，从已知到未知，进而为新知的学习提供相同的研究策略和方向指导，从而达到触类旁通的作用.所以类比不仅是学习概念、定理、法则的认知工具，也是学生解决数学问题的一种重要方法.在课堂教学中采用类比的教学方法，可以有效地降低感知的难度，激活认知的生长点，促进知识的有效迁移，同时激发想象的欲望，唤醒学生的创新意识.

2.数学类比教学的模式

三、类比教学在数学课堂教学中的策略

1.巧用新、旧类比，在新授课上温故知新，拓展知识系统

数学教学必须建立在学生已有的认知水平和知识结构上，教师在讲授新知识时，若能巧妙地联系学生已有的知识，将新、旧知识进行类比分析，就可以让学生自主发现新知识，从而温故知新.这样建构的新知识更易于学生的数学学习，从而有效突破新授课概念教学的难点，促进概念的生成和相关知识点的迁移，进而降低教学梯度和难度.

案例1：在“分式”教学中，可以用如下方法类比迁移出分式.

第一步：举列引旧知.

师：你能列举几个小学时学过的分数吗？

第二步：对比观异同.

生3：它们都有分数线.

生4：它们都被分数线分成上、下两部分.

师：它们之间有什么不同点吗？

生2：我们说的式子都是由数组成的，而老师说的式子中有字母.

生4：而且我发现老师说的式子中的字母都在分母上.

师：其实老师列举的这类分母上含有字母的式子，就是我们今天要学习的分式.（教师板书）

第三步：类比找特点.

师：我们知道分数的分母不能为0，那么，分式的分母可以为0吗？

生4：不能.

师：你能告诉大家你的理由吗？

生4：因为分式中分母是除数，而除数是不能为0的.

师：也就是说，要成为分式，分式中的分母是有条件的.

生2：是的，分式中的分母不能为0.

……

接着在学习分式的基本性质时，教师继续类比分数的基本性质，让学生猜想分式的基本性质，这样学生很自然地就能学会分式的基本性质.

效能分析：在这一教学过程中，教师利用学生熟悉的分数，类比迁移出分式的概念、特征及基本性质.学生很自然地从对分数的认知拓展到对分式的理解，由此可见，如果教师能掌握新、旧知识的纵向延伸和横向联系，抓住新、旧知识的连接点，巧妙运用旧知识进行类比转化，不仅可以使学生在学习新知识时易于同化，提高学生的学习能力，而且让学生学得轻松，让自己教得愉快，提高学生的学习效率.

2.强化系统类比，在复习课上触类旁通，建构系统网络

教学实践表明，点状化的知识不易理解，容易遗忘，而结构化的网状知识易于学习和掌握，更有易于延伸和拓展.因此，在复习课上，教师如果利用知识间的系统类比进行教学，可以帮助学生关联点状知识间的相互联系，使点状知识类比化，进而真正将知识做到连点成线，连线成面，形成知识网络，同时可以让学生从对点状知识的表征感性认识上升到对网状知识本质属性及规律的理性认识.

案例2：在中考复习“全等三角形”知识时，我是这样类比相似三角形进行系统复习的.

第一步：回忆点状知识.

师：你知道相似三角形的性质吗？

生1：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

生2：相似三角形的对应线段成比例，相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

师：全等三角形有哪些性质呢？

生3：全等三角形的对应角相等，对应边相等.

生4：全等三角形的对应线段相等，对应周长相等，对应面积也相等.

第二步：突出类比本质.

师：为什么全等三角形的对应边相等？

生1：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形.

生4：相似三角形，对应边成比例，而全等三角形是相似比为1的相似三角形，所以全等三角形对应边的比为1，即对应边相等.

第三步：通联网状脉络.

师：你知道相似三角形的判定定理吗？

生2：两组角相等，两个三角形相似；两组边成比例并且夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似.

师：你能类似得到全等三角形的判定定理吗？

……

效能分析：在这节复习课中，教师运用类比教学法沟通了两类不同三角形，将相似三角形和全等三角形之间各知识点都串联了起来，实现知识间的纵横类比，从而帮助学生建构了一个系统的知识网络，让学生在知识上融会贯通，使学生的学习更加轻松，记忆更方便，同时是在原有知识基础上的一种延伸、拓展，使知识更加系统化.

3.借助生活类比，在探究课上深入浅出，实现思维超越

数学来源于生活，数学规律、数学思想方法与生活中的事物有相通之处，在数学探究教学中合理利用生活实例与数学知识进行类比教学，为学生探究数学知识搭建一个缓冲的桥梁，使学生能轻松接受并理解数学知识，从而大大降低学习难度，增强学生学习数学的积极性.

案例3：初二“确定位置”课堂探究片段.

第一步：展现问题情境.

师（展示一张地图）：今天张老师约陈老师去体育馆看篮球比赛，已知体育馆的入口在太湖大道和清祁路交叉口，同学们能告诉陈老师体育馆的入口在图中的哪一位置吗？

生1上前在地图上指出相应的位置.

师：你是怎么考虑的？能说说你的想法吗？

生1（上黑板指着地图）：首先在地图上找到太湖大道所在的位置，即这条线，再找到图中清祁路所在位置的线，两条线的交点就是我们要找的体育馆入口的位置.

第二步：寻求思维变异.

师：这样想的同学举手.

全班学生基本都举起了手.

师：回答得很好，这里要找的位置是利用两条线的交点确定的，这是确定位置的一种方法.

师：你知道这里蕴含了什么数学知识吗？

生2：两条直线交于一点.

师：很好，这是确定位置的常用方法之一.

师：张老师到体育场，她的门票的座号是7排16座.张老师应该怎么找到自己的座位呢？

生1：可以先找到第1排的16座，再从前往后找到第7排就可以了.

师：还有不同意见吗？

生3：我认为张老师可以先找到第7排，再依次找到第16座即可.

师：你们认为这两种方法可以吗？

生（齐）：都可以.

师：好的.如果陈老师的门票的座号是7排3号，我们可以怎样简单标记呢？

生1：（7，3）.

第三步：实现思维超越.

师：也就是说，确定一名同学在教室里的位置，我们还需要哪些数据？大家讨论一下.

生4：要想说明一名同学在教室里的位置，我们必须得知道他位于第几排第几个这两个数据.

师：这样的两个数可以确定唯一的一个位置.按这个同学的办法，我们就能通过两个数找人.

师生共同做游戏，教师报出（3，2）、（3，4）、（4，3）、…，对应的学生立刻站起来.

效能分析：这节课中，教师通过多个生活场景中的实际问题来类比教学，一步步将学生较难理解的、较抽象的点的坐标问题，转化为学生内心的需要，从而将抽象的点的坐标问题变为具体、简单的生活问题，再根据学生思维特点的需要，上升到更丰富、更广泛的具体内容.这符合抽象性和具体性的基本关系，有利于学生运用抽象理论认识、检验具体素材，使抽象理论具体化，也发展学生的抽象思维.这样的类比可以把复杂问题简单化.

4.把握结构类比，在习题课上拨云见日，助力方法剖析

类比可以说是一种从一般到特殊的数学思想方法，更是探索新事物的一种有效的研究方式.它对培养学生的创造能力和创新思维有着重要的指导意义，特别是在数学习题课教学中，利用类比教学的方法，可以引导学生观察题目本身的特征，凭借题目结构上的本质特征寻找类比来解决问题.

案例4：在一节初三习题课上.

第一步：展示例题促思考.

教师展示题目：

师：你知道上面三个等式有什么共性吗？你能写出第4个等式吗？你会表示第n个等式吗？

经过几分钟的观察和思考，学生慢慢举起了手，教师示意学生回答.

生1：我发现等式的左边是两个平方的差，等式的右边是偶数.

生2：等式的右边是偶数.

……

学生的小手慢慢放下来了，教室里沉静了下来.

第二步：改变结构引类比.

教师在黑板上再次以不同的形式呈现原来的题目：

32-12=8；

52-32=16；

72-52=24.

教师再次让学生观察上述等式.

第三步：剖析共性获方法.

师：观察这三个等式，你还能发现其他特征吗？

生2：如果从上、下的角度看，我发现这三个等式有三列数字，第一列中，平方数的底数是连续的奇数.

生3：我发现第二列中平方数的底数也是连续的奇数.

生4：第三列中都是偶数.这些偶数都是8的倍数.

生2：这三个等式的等号左边是两个连续奇数的平方差.

……

效能分析：这节课中，教师通过对题目形式的变化进行类比教学，从而引导学生观察三个等式结构的本质特征，在类比变化的过程中，让学生自主观察、比较、思考，进而大胆猜想和合情推理.让学生自己根据题目的结构去类比，带给学生更多参与、发现、体验的机会，让学生去发现、去猜想、去验证，这样的教学，让课堂充满了活力与思考.这样的结构类比，让学生在解决问题的过程中，学会了方法的创新.

四、对类比教学的后续思考

1.类比教学应以学生参与为主体

数学新课标强调培养学生主动参与学习的意识.因此，在有针对性的类比教学的理论指导下，通过教师的有效指导，学生解决相应问题，让学生通过自主类比建构知识网络，归纳解题规律，分析易错原因，总结经验教训，以此提高学生的数学综合能力.因此，在教学中，教师要想方设法设计适合学生实际的类比问题，调动学生的学习兴趣，激发学生主动复习的意识，使得学生真正参与到问题中来，主动参与到复习活动中来.

2.类比教学应以能力提高为标准

有效的课堂的衡量标准，不是看是否完成教学任务，也不是看教师在一节课中总结了多少知识点或讲解了多少题型，而是看在学习过程中学生的有效活动量、有效思维量、有效训练量有多少，其中包括对知识的概括梳理、问题的分析解读、交流探究的过程、不同解答方式的呈现及学生自己掌握知识和技能的程度等.只有让学生自己把学习内容真正落实到位了，才有助于提高学习效率.因此，在课堂教学过程中，学生能自己解决的事情，教师不要包办，要让学生自己充分建构知识、展示思维、发展能力.

3.类比教学应以问题解决为手段

通过“类比”这一教学手段，串起整个学习过程，实质上是让学生在对数学问题的思考和解决中，思维获得拓展，方法得到强化，能力得以提高，这正是数学课堂要达到的目标.因此，教师首先要注意类比目标要明确、难易要适合，要立足学生的原有认知和经验，符合学生的实际.其次，要给学生提供更多的展示思维方式的机会，提供更多的解释和评价自己思维的权利.

类比教学不仅是一种有效的课堂教学手段，更是拓宽学生思维的重要途径.让我们在数学课堂教学中灵活、合理地运用类比教学，开阔学生的思路，启迪学生的思维，这样一来，我们的数学课堂必将更加精彩.F