关注引入，科学探究，知识拓展，思想兼顾——以“直线与圆的位置关系”的教学为例

☉江苏省苏州高新区第一初级中学 杨 艳

“直线与圆的位置关系”是苏科版九年级上册的重要内容，是对“圆”的进一步探究.课标提出，要求学生充分了解直线与圆的位置关系，并根据该关系得出圆心距与圆半径之间的关系，感受数量关系刻画位置关系的几何研究方法，提升学生的核心素养.基于上述课标要求，教师在教学中需要精心设计教学环节，关注教学细节，下面提出几点建议.

一、关注课堂引入，开展情景教学

良好的课堂引入不仅可以快速聚焦学生的注意力，还可以帮助学生顺利完成知识过渡.初中学生的心智还处在发展阶段，对具体的问题和新奇事物有强烈的好奇心，若在课堂教学的伊始合理设置问题情景，从生活实际中完成知识的提炼，可以提高教学效率.

直线与圆的位置关系虽然属于几何问题，但在实际生活中随处可见，最为典型的场景是海上日出的过程.在该过程中蕴含两者的三种关系，因此教学中可以以此为取材点，让学生观看相关视频，通过直观的场景将学生代入课堂，充分感知数学来源于生活的真谛.

而在情景引入阶段需要注意引导学生思考，促进学生产生思维的碰撞.问题设计可以从两个角度进行：一是进行关联知识的思考，即让学生思考之前几何学习中研究了哪些图形的位置关系；二是将日出过程进行等效，将地平线看作一条直线，太阳看作动圆，让学生思考日出过程中地平线和太阳存在哪些位置关系.为帮助学生思考，教师可以适当设计一些实践活动，如利用画板演示日出过程（如图1），或让学生准备纸张模拟日出过程.在活动中，教师应重点引导学生关注直线与圆三类不同位置关系时的交点，为后续的数学定义做基础.另外，在初步完成直线与圆位置关系的探索后，可以让学生各抒己见，列举生活中的其他实例，并让学生思考实例中哪些事物代表直线与圆，以及两者之间存在怎样的位置关系，完成知识纠偏的同时深化学生对生活现象的认识.

图1

二、科学引导探究，精设教学环节

问题是数学发展的动力，是形成完整知识链，构建系统框架的必经环节.以问题为引导，让学生经历知识形成的过程更能强化学生对知识的理解，使学生掌握科学的探究方法，提升实践能力.因此在教学“直线与圆的位置关系”时，可以采用问题探究的模式，利用科学的探究过程完成知识的讲授.

本节内容的核心是对直线与圆位置关系的探究、数学语言的描述及相关位置关系的判定与性质探究，其中的核心问题是位置关系.教学中可以采用“形成问题→抽象方法→提出假设→数学验证→语言概括→构建理论”的探究模式.首先由情景问题引出本节课探究的主题，然后采用模型抽象的方式引导学生提出假设，并从数学角度思考直线与圆位置关系的刻画方式，实现问题的数学转化.如从日出问题中抽象出图2所示的模型，其中⊙O表示太阳，直线l表示水平线，让学生思考是否可以用⊙O的半径r与圆心到直线l的距离d的大小关系来表示，是否可以用两者的交点个数来表示.该过程中，要让学生充分思考，自我总结概述，然后教师给出准确的语言描述，同时对知识概念进行提炼，开展知识点的关联探究，帮助学生绘制如下所示的知识列表：

图2

表1

而在完成上述知识链构建后，需要让学生进一步思考是否可以逆向推导，即由直线与圆的位置关系来推理两者的交点个数及圆半径r与圆到直线距离d的大小关系，向学生阐明直线与圆的位置关系、两者的交点个数、d与r的大小关系是相互对应的，知其一可反推其二，促进学生双向思维的发展.

另外，在数学的验证阶段，可以合理渗透数学的探究方法，虽然直线与圆的位置关系是几何特征，但在论证时可以从代数角度进行，即采用数形结合的方式.而在具体讨论过程中，可以根据其位置特点将其分为三类，用代数关系来等价几何关系.采用这样问题探究、科学论证的方法，不仅可以在最大程度上避免教学方向偏移，还可以逐步培养学生思维的逻辑性和严谨性.

三、重视知识衍生，倡导知识拓展

初中阶段学生处于思维的活跃期，对于一些新的事物会有一些独特的想法，这些特殊的思想内容有着极大的利用价值，也值得倡导提升.而在实际教学中，教师应积极倡导知识拓展，提升学生思维的宽度和深度.

“直线与圆的位置关系”内容主要是使学生掌握两者的三种位置关系，以及位置关系的几何与代数的判定方法.而直线与圆相切过程中存在切线长这一特殊的定理，该定理虽然属于选学内容，但对于拓展学生的思维有着积极的意义，因此值得深入讲解.切线属于直线，因此是无限长的，在教学中需要引导学生在掌握切线定义的基础上思考切线的性质.讲解该定理时需要从圆的对称性角度进行，构建线段、角、弧长和垂直关系的研究模型，让学生思考连接圆的两个切点的线段的特性，两条切线相交时交点与切点相连构建的三角形的特性，以及以此为基础让学生学作内切圆.

以切线为基础，通过拓展活动、引导思考的方式进行知识拓展，不仅可以确保知识的连续性，还可以提升学生思维的连续性.整个过程中，学生的思维处于极度活跃状态，教师要善于引导，以开拓视野为主，立足思维拓展、核心素养提升.

四、注重思想渗透，引导思维活动

中学教育与小学教育最显著的一个不同在于知识领域，如小学教学更注重常量数学，而初中阶段更多的涉及代数、方程和函数等变量知识，而这些不同知识的背后是数学的思想和研究方法，如方程思想、数形结合思想、构造思想等.因此在教学中需要依托教学内容来渗透数学的思想方法，使学生掌握知识的同时获得思想上的提升.

“直线与圆的位置关系”的内容教学同样需要贯彻“知识与思想并重”的方针，借助特定的教学内容向学生传达数学的思想内涵.这其中包括从生活实例中抽象直线与圆位置关系的构造思想，类比“直线与直线的位置关系”开展探究的类比思想，对位置关系加以讨论的分类讨论思想，以及整个论证过程中需采用的数形结合思想.这些思想基础同样是本节内容教学的重点，是学生掌握知识探究方法、提升数学思维的关键，因此，在实际教学中，应注重运用思想方法开展问题探究的细节讲解.如运用构造思想构建实际问题的研究模型时，应着重讲解具体的抽象过程和构建方式.利用类比思想开展内容探究时，引导学生思考类比的基础，以及类比时的研究策略.数形结合思想和分类讨论思想是教学的核心思想，贯穿整个教学始终.指导分类讨论时应使学生明确开展分类讨论的前提条件，包括分类的原因、原则及标准.从数形结合角度开展问题论证及解题思考，则应引导学生思考数形观点分析问题存在哪些思路，需要构建哪些模型，以及分析过程的具体步骤，让学生亲身体验应用数学思想探究问题的优势.整个教学过程应注重引导学生观察、动手操作、设问思考，充分调动学生的思维，实现感官和逻辑推理的有机融合，让学生在潜移默化中获得思想和知识的双重提升.

总之，虽然“直线与圆的位置关系”在高中阶段还将深入研究，但作为初中数学的重要内容，同样需要指导学生在掌握基础知识的前提下学习相应的探究方法，提升学科思想.因此，在教学中需要关注教学重点，精化设计方案，以问题为驱动，调动学生思维，有效促进学生数学素养的发展.