“单位圆”引出新知：锐角三角函数同课异构

☉江苏省无锡江阴实验中学 孟协军

近读《中学数学》（下），发现连续两期刊登初中“锐角三角函数”起始课的教学设计（见参考文献［1］、［2］），两位老师的教学设计都体现了“用教材教”（钟启泉语），重视了数学现实引入新课，“让数学课讲数学”（单语）等教学理念，对一线教学有着较好的示范引领作用.受到他们的启发，笔者也基于个人研发课例的兴趣，联系高中阶段对三角函数的学习理解，基于“单位圆”研发一节初中阶段“锐角三角函数”起始课例，同课异构，供研讨.

一、锐角三角函数起始课教学设计

教学环节（一） 数学现实，引出新知

创设情境：黑板上画出一个平面直角坐标系，并以原点为圆心，单位1为半径，作出一个圆（因为本课例中会反复提及，不妨称这样的圆为“单位圆”），设该圆与x轴的正半轴交于点A.引导学生把目光聚焦在第一象限，在圆上取一点B（x，y），连接OB，得到∠BOA，设∠BOA=α，安排学生分组研究当α取定一些特殊的锐角时，B点的坐标能随之确定.

图1

图2

教学预设：学生会取α的一些特殊锐角如30°、45°、60°，进而研究出相应的点B的坐标.教师引导学生走向一般，预设如下追问：

追问1：当α取定任意锐角时，点B的坐标能否确定？（学生应该可以猜想出能被唯一确定）

追问2：回顾函数的概念，当α取定一个锐角时，相应的B点的横、纵坐标都会随之唯一确定，它们之间具有函数关系吗？（学生应该可以确认y与α具有函数关系，x与α具有函数关系）

追问3：如图2，在射线OA上任取一点D（x2，y2），继续研究x2、y2与锐角α是否具有函数关系.（仍然具有函数关系，与之前问题是一样的，只是“一般化”的过程，可以看成是单位圆的放大，如图3，也可以引导学生从相似三角形的角度理解它们的一致性）

图3

教师讲授：由于这种函数关系不同于之前所学的一次函数、二次函数、反比例函数，这些函数能用一些代数式表示，所以历史上数学家们给了它们一些专门的记号，让我们把图形简化为直角三角形，给出定义（板书如下）：

图4

说明：板书定义时，最后补出“锐角”两字，并强调初中阶段只研究锐角的情况，以后还会拓展研究范围更大的角度的三角函数问题.

教学环节（二） 理解新知，初步运用

对照锐角三角函数定义，安排学生计算30°、45°、60°的三角函数值，列表梳理出来.由一个小组派学生代表到黑板上书写，如下：

表1

进一步研究：既然是函数关系，需要研究函数的自变量与函数值的关系，如增减性，同角三角函数之间的关系等.学生先分组交流，然后大组汇报.

预设成果：在锐角范围内，正弦函数sinα的值随着自变量α的增大而增大；余弦函数cosα的值随着自变量α的增大而减小；正切函数tanα的值随着自变量α的增大而增大.还有互为余角的两角的函数值之间的关系，如sin30°=cos60°，sin45°=cos45°.如果教学时间充分，还引导学生“走向一般”尝试证明sinα=cos（90°-α）.

教学环节（三） 引导探究，走向一般

例1计算：sin230°+cos260°.

变式计算：sin245°+cos245°.

猜想验证sin2α+cos2α的计算结果.

教学组织：学生容易计算出前两问的值，但是“走向一般”的证明有一定的挑战，需要“回到定义”，基于直角三角形、结合勾股定理演算证明.

学生证明之后，回到开课阶段的问题情境，如图5，基于“单位圆”的基本图形，可以发现点B的坐标（x，y）也就对应着（cosα，sinα）.在图5中，结合勾股定理容易看出sin2α+cos2α=12=1.

学生理解之后，还可进一步“一般化”，将圆的半径“单位1”变式为参数r，引导学生验证确认：sin2α+cos2α=r2.

图5

图6

教学环节（四） 课堂小结，反馈检测

小结问题1：结合“单位圆”基本图形说说你对本课所学的三种锐角三角函数的理解；

小结问题2：本课学习了哪几个特殊锐角的三角函数值？你是怎样理解或快速记忆那个特殊锐角三角函数值表格中的数值的？

小结问题3：锐角三角函数需要在直角三角形中进行分析与思考，与直角三角形的各边大小有关系吗？举例说说.

反馈检测题：

题1：在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（1，2），画图分析∠AOx的正弦函数值、余弦函数值、正切函数值.

题2：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=60°，利用锐角三角形函数的新知，求证：AB=2BC.

题3：在三角形ABC中，AB=10，BC=6，AC=8.分别求sinA、cosA、tanA的值.

题4：结合锐角三角函数定义证明：sin41°=cos49°.

二、教学立意的进一步阐释

1.核心概念的起始课值得深入研讨

我们知道数学中有很多核心概念，代数中如数的运算法则、运算通性，方程，函数等，都是核心概念，可以发现，核心概念常常是指那些具有宽广发展前景的数学概念.本课例中关注的三角函数的概念就属于这类核心概念，它有着十分宽广的发展前景，只是在初中阶段刚刚涉及很少的部分.就目前所见的版本的初中教材，多是从生活现实出发，为了解决某些直角三角形的生活应用问题，而引入正切函数，进一步引出正弦函数、余弦函数，这种基于生活现实引入新知的方式也是可以的，体现了数学来源于生活.但是对于三角函数这样的核心概念，不只是在生活中有广泛应用，它更是一个逻辑连贯、前后一致的知识模块，也可以从后续（主要是高中阶段）三角函数概念教学需要出发，基于数学现实（如本文关注的“单位圆”）引出新的概念，这样学生到高中续学三角函数时，就可进一步放开角度的研究范围，拓展开去，走向一般.在这个意义上说，作为核心概念的三角函数起始课值得反复研讨、深入研讨，而不是简单停留在“教教材”层面上.

2.加强不同教学环节的“前呼后应”

在上文课例中，我们选定了“单位圆”作为数学现实引出新知后，在不同教学环节都围绕着“单位圆”开展教学，将其作为一个重要的问题背景（或平台），做到了互相关联、前后呼应，当然这也是践行所谓“问题驱动”式的教学设计与课例研究.这里不妨对“问题驱动”式教学设计做出进一步解读，我们所指的问题是指少而精，富于生长，前景广阔的问题情境，而不是那种“一题接一题”的习题式推进，让一个主干问题能引发、生长、变式、拓展到很多问题串，而且问题串之间互相联系、层层递进，这样就是品质较高的问题驱动，而不是“习题单式”的题海战术.

3.重视教学追问与学情反馈的设计

在课例的框架或主干问题确定之后，需要预设各个主干问题之下的教学追问，而不是简单的即兴追问（踩着西瓜皮，滑到哪里是哪里），精心预设的系列追问形成问题串，对所学新知起到有效巩固、反复强化的教学功能.当前我们看到一些导学案之所以习题量偏大，沦落为习题单式的习题教学，原因就是对有些主干问题的认识不够，没有充分抓住核心习题、经典习题进行系列变式，预设问题串，又要顾及增加所谓课堂训练容量，从而就大量选题，对不同习题之间的关联度、一致性缺少深度构思，这是让人遗憾的.就本课例最后提供的几道原创学情反馈题，也可顺便解读一下设计意图，作为新授课的必要学情反馈，需要关注学生对新概念的理解是否深刻，是否掌握了“回到概念去解题”的思维方法，都可以通过这几道小题得到反馈.

三、写在后面

经典课例的同课异构、反复研讨能加深我们对核心概念的理解角度与深度.正是基于 以上认知，我们基于“单位圆”的数学现实，提供了锐角三角函数的起始课教学设计.因为该课例开放度大，对教师课堂驾驭要求高，也许对初任教师并不具有推广性，期待有丰富的驾驭课堂经验的教师上课实践，并跟进打磨，不断丰富该课例的教研资源.