返璞归真，突出本质，发展数学学科核心素养*——2018年福建中考数学试题分析与启示

☉福建省福州第十八中学 陈 辉

☉福建省福州第十八中学 林进东

2018年是福建省中考采用全省统一考试的第二年，数学分A、B两张卷（仅厦门用B卷）.2017年福建省中考是第一次全省统一考试，采用全省一张卷，当时为了平稳过渡，卷子的题型设计并没有多大变化.而2018年的考题虽然题目数一样，还是选择题10道，填空题6道，解答题9道，但考查侧重变化较大，特别是对数学学科核心素养的考查提到了一定的高度.笔者试着对其做些分析，并谈谈对数学教学的一些思考.

一、试卷分析

总体来讲，A卷难度比2017年略有降低（B卷难度比2017年略有增加），虽难度略降，但内涵陡升，可谓“简约而不简单”，具体分析如下：

1.立足基础，注重能力与素养，区分度高

试卷设计准确把握课程标准中的内容要求，没有偏题、怪题，立意高，低起点、高落点，立足基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，关注到不同层次的学生，让不同层次学生的水平都能得到展示.其中A卷的第1～8题，第11～14题，第17～19题，第22题（1）、（2）的①、第25题的（1），均为简单题或送分题；第9题，第15题，第20题的（2），第21题的（2），第22题的（2）②，第23题的（1），为容易题（或介于容易与中等难度之间）；第10题，第16题，第23题的（2），第24题的（1），均为中等难度题；第24题的（2），第25题的（2），均为难题.这四类题分值比例约为6∶2∶1∶1.其中B卷从第1题到第23题的（1）与A卷题目一样，后面就是把A卷第23题的（2）、第24题、第25题进行深度变式改成相应的题目，这几题均加大了难度，第23题的（2）由中等难度题升为难题，第25题的（1）由简单题升为中等难度题.这四类题分值比例约为4∶1∶1∶1.可见A、B卷均梯度明显，有利于区分不同层次学生的“四基”、能力与数学学科核心素养，选拔功能强.

2.注重考查学生对知识形成过程的理解，引导初中教育关注学习过程

如第20题：求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′、∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′△ABC，不写作法，保留作图痕迹；

图1

图2

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.

要求①其实是经历相似三角形判定的学习过程后的延续，是让学生用相似三角形的判定方法与之前应掌握的尺规作图的基本功解决新“生成”的问题；要求②是要求①的有序的、递进的问题，要求②的原型是人教版教材九年级下册第37页对相似三角形对应高线之比等于相似比的探究，现改成相似三角形的对应中线之比等于相似比的证明.整道题的解决实质上是探究相似三角形这一章内容的一个缩影.第20题的设计既考查了教师是否平时注重引导学生了解知识的来龙去脉，经历知识发生、发展的过程，以及平时是否注重引导学生的问题意识与主动探索意识，又考查了学生平时学习过程中知识形成过程的方法和习惯，以及学生独立思考、主动探索、动手操作情况也可窥见一斑.

3.凸显应用意识，重视新情境下考查学生的数学建模、数据分析等核心素养

数学素养通俗的讲就是一个人在多年以后就算把数学知识点忘得一干二净，但仍然具有的用数学思维与方法分析与解决问题的能力，以及相应的情感态度价值观.数学学科核心素养是其核心内容，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析六个.2018年的中考卷很彰显这些，如第8题是我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竽”问题，与2017年中考卷中的“鸡兔同笼”问题类似，均是以历史文化典故为问题情境；2017年的数据分析题是以极具现代气息的共享单车为问题情境，类似的，2018年的数据分析题第22题也是以具有现代气息的快递公司揽件数据与员工工资收入数据为问题情境；还有第23题的问题情境极具生活气息：如图2，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边共用了100米长的木栏.

（1）若a=20，所围成的矩形菜园面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD的面积的最大值.

图2

这些题目既让卷子焕发古典文化韵味，又洋溢着现代生活气息.由这些问题情境设置并引出创新性的问题，目的是考查学生在新情境下，能否用数学思维思考、分析问题，建立数学模型，并用数学思想与方法解决问题，具有“国际学生评估项目”测试（PISA测试）的味道，特别是B卷的第23题：空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米.

（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米长的木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图3，求所利用旧墙AD的长.

（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图4，请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值.

此题是对A卷的第23题进行变式，PISA测试的味道更浓，可以说是PISA测试中实际问题的简约版.对中学数学教育注重培养学生的数学建模、数据分析等核心素养有较强的导向作用.

图3

图4

4.凸显知识关联，知识背后的数学思想与方法的贯通，知识与核心素养的交融、协调，突出数学本质

如第10题考查学生对一元二次方程这一单元中方程的定义、方程的根的定义、根与系数的关系这三个关联知识，以及逻辑关系的领悟与贯通的深入情况.再如刚才的第23题，先探讨方程问题，再延伸到二次函数问题，由特殊到一般（方程问题是函数问题的特殊情况），并进行分类讨论，特别是B卷的第23题，还要进行方案讨论，策略的选择，以及分类讨论，其目的就是考查学生的学习迁移能力，以及思维的发散性与严密性.又如第25题是函数与几何综合题，涉及一次函数、二次函数、方程、圆、等边三角形等内容.还有第16题：如图4，直线y=x+m与双曲线交于A、B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC的面积的最小值为______.

该题涉及一次函数、二次函数、反比例函数、方程、等腰直角三角形等内容.这类题均是考查学生对不同章节知识关联下的贯通、融合并综合应用的能力，也对学生的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等进行考量，当然均能体现更为上位的数学学科核心素养水平.

图4

二、教学启示

1.立足课本，重在平时学习过程

通观整卷，可以发现约70%的题目来源于课本，或是课本例题、定理推导的改编，或是课本作业题目的改编或变式.目的就是考查学生也考查教师在平时上课过程中，是否有花足够的时间把课本的内容探究深入、透彻，是否以科学的探究方式达到较好的学习迁移能力等.故教师平时在组织教学过程中，要以课本为基础，以课标为依据，善于运用合适的引入新课的方式，比如，引入与现实生活密切相关又适合学生的问题情境，或是从“数学现实”出发，进行更能体现数学本质的、自然的新课引入，以引起学生学习的兴趣与探索欲望；对于新知的生成，最好让学生主动参与探究而共同获得，不断形成主动探究、合作交流的意识，也培养他们实践操作与解决问题的能力.对新知识的获得，教师要帮助学生了解知识的来龙去脉，对新知的可靠性进行充分论证，以培养学生严谨、科学的学习态度与数学语言表达论证能力.在新知应用环节，设计有序的、层层递进的变式问题或变换情境，问题串之间应符合学生的最近发展区，让学生不断突破，提升能力与素养.

比如，第20题系课本改编题，如果学生在平时的学习过程中有充分的探究，对于要求①自然想到相似三角形的判定方法，结合本题已经具备的一对边与一对角，会生成再构造该角的另一边或该边的另一个夹角的想法，再结合学生平时通过充分探究学习已深谙尺规作图的原理和作法，便知道尺规作图没有对线段按比例缩放的作图功能，会排除构造边，采用作∠B=∠B′的作法，要求①便轻松达成.如果平时教师有对课本的结论进行充分论证，包括对文字语言、图形语言和符号语言的转化都示范给学生看，并适当进行变式训练，那么对要求②的完成自然是水到渠成的.

其实，以课本为根本，重在平时的学习过程，也把思维引向纵深，为知识在新情境下的运用，为关联知识融合下的整合创新打下坚实的基础.

2.纵向深挖，结合实际应用，兼顾横向联系

除了在平时学习过程中多投入，教师还应多开设每章相应的专题研究课与综合实践活动课，这样可以把核心问题进行有效变式，把思维引向深入，逐步由低阶向高阶提升，不断强化实践探索与应用意识.在平时的课后作业中，应多设计能在新情境下应用知识解决的问题，能体现思维过程，能体现过程性学习情况的好题目.这些都要求教师舍得花时间在新课和单元拓展上，不要仅为了中考的一点复习时间赶进度.新课进度太赶，必然导致教师在新课授课上直接上干货，直接下知识点，然后训练解题，学生对新知识是囫囵吞枣，没有消化好，到中考总复习时也是炒夹生饭，总也炒不熟，也扼杀了学生探索与合作的精神，抑制了学生思维的发展，不利于培养数学学科核心素养，其实是舍本逐末.

笔者多年前就开设过“二元一次方程与长方形拼图问题”公开课，2018年4月份开设了“一次函数与几何图形中的面积问题”公开课，这两节均是综合实践活动专题课，笔者深感此类课既可以夯实基础，又可以延伸思路，拓展能力，还可以培养数学思想与素养，可谓一举多得.试想，如果每个单元都开设相应综合实践活动专题课，当然，学完一元二次方程与二次函数时相应开设“一元二次方程与几何图形面积问题”专题课，比如，此课程可初步设计成围墙长度固定，用篱笆围成直角三角形，变式成长方形，变式成长方形中间用篱笆隔成两个小长方形，变式成大长方形开个缺口作门，横向联系到二次函数，便会变式成矩形面积的最值问题.当然，让墙壁长度由固定数字变成字母的变式可能会想不到，但课堂上可以把开放性的问题给学生，学生很可能会想到这个变式，教师可以顺势而为，师生共同探讨这个精彩的变式，达到教学相长.如果遇到第23题，学生有了平时课堂上探究问题的科学策略和解决办法的积累，有了平时学习与思考良好习惯的养成，便可以很准确快速锁定题目立意，选用相应的知识与科学的思想方法应对，就算不能完美解决，也能发挥到极致.

3.横向广泛联系，比较个性与共性，提升综合应用能力

心理学家皮亚杰指出：“学习知识是学生对知识网络进行自主构建的一个过程，教师起到的只是引导和培养的作用.”郑毓信教授指出：“基础知识不应求全，而应求联.”故教师在平时教学过程中，应引导学生自主归纳整理知识，构建四通八达且流畅的知识网络结构图.不仅要构建好章节知识网络，还要构建好关联章节与知识点的大网络，做到心中有数.如此，不管是单元内容纵向关联的深入考查，还是多章节内容综合应用的横向关联的考查，都能从容应对.特别是中考复习时，多跨章甚至跨学科进行比较、渗透，并且渗透数形结合、分类与整合、化归与转化、函数与方程、特殊与一般、必然与或然的思想，能帮助学生提升综合应用能力.

比如，在整理函数与几何图形知识结构时，除了可引导学生得到正比例函数与反比例函数共同点，还发现正比例函数图像经过原点，反比例函数图像不经过原点，并且与坐标轴无限接近；把正比例函数解析式加常数项b，图像就会上下平移，反过来图像上下平移，b也有相应值；函数图像交点的坐标计算又和方程建立了联系，其实方程是函数的特殊情况；再由交点构造三角形、四过形、圆等，又和几何知识建立了联系，上升为感悟到“函数是用于刻画数量关系与变化规律的重要模型，这里的数量关系除了实际问题中两个元素之间的关系，也可以是几何图形中元素之间的关系，图形运动变化规律可以通过函数模型加以刻画”，反过来，函数可以通过几何图形来直观体现.如此在每个关联知识领域，均进行横纵联系融合，提炼通性通法与数学思想，真正理解数学本质，那么遇到考卷第16题时就会较快领会题目立意，解题思路自然成：其实该题就是双函数组合模型下产生的一个特殊几何图形——等腰直角三角形，在整个变化过程中，都可以用这个等腰直角三角形来体现，这个等腰三角形的面积又和两函数图像的交点坐标有关，交点坐标又转化为直角三角形的直角边长（从这里也可以发现是等腰直角三角形），然后用面积公式建立出面积表达式为二次函数解析式，最后用二次函数求最值的方法求得.该题的数学思想方法与平时的引导融合一脉相承，问题的解决也相对顺利，数学学科核心素养的发展也得到了体现.

三、结语

中考不仅是考学生，也是考教师，倒逼教师认真研究课程标准与考试指导意见，认真分析试卷，特别是高质量的试卷（比如中考试卷），能够清楚知道中考对知识和能力的要求，能够真切感受中考对数学学科核心素养考查的重视程度.其实核心素养是育人目标，是方向，是指南针，指导着试题的编制［4］，教师分析中考试卷的同时，甚至也研究命制与中考题类似的基于核心素养的试题与评价体系，从而深入领会中考题的各项立意.总之，可以从不同程度上指导教师平时的教学，引导教师深化数学学科核心素养理解，自觉建立基于核心素养的教学目标体系，以数学学科核心素养组织教学，重视过程性学习，关注知识的横向联系与纵向深挖，善于创设真实问题情境，渗透数学思想方法，逐步培养学生善于用数学的眼光看问题，用数学的思维思考问题，用科学的方法分析、选择与应用合理的数学思想方法，不断构建，以顺利解决问题，形成良好的思维习惯与品质，不断提升能力与素养.