2019届高考数学模拟试题（三）
2019-05-21范运灵
范运灵
第Ⅰ卷（必做题 共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.設集合A={x|1+log2x≤0}，B={x|14≤x≤2}，则A∩（瘙綂
RB）= .
2.（2+2i）4（1-3i）5= .
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点.若AO·BF=BO·BF，则该椭圆的离心率为 .
4.已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2=14（x21+x22+x23+x24-16），则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为 .
5.已知函数f（x）=3+log4x（1≤x≤16），则T=f2（x）+f（x2）的最大值是 .
6.如图所示的程序框图，其作用是：输入x的值，输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 个.
7.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 .
8.对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=2，数列{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn= .
9.已知函数f（x）=Acos（x+φ）+1（A≠0，-π2<φ<π2），其导函数的一条对称轴为x=π4，则函数f（x）与y轴最近的对称中心为 .
10.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM=MB，则p= .
11.函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1 12.若x，y满足约束条件x+y≥1x-y≥-12x-y≤2，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 . 13.已知坐标平面内定点A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和动点P（x1，y1），Q（x2，y2），若AP·BP=3，OQ=（12-t）OM+（12+t）ON，其中O为坐标原点，则|PQ|的最小值是 . 14.在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量m=（b，c+a），n=（b-c，c-a），且m⊥n.若直线y=bx+c过圆C1：x2+y2-2x-2y=1的圆心，则S△ABC的最大值为 . 二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15.（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+3cosA=2. （1）求角A的大小; （2）现给出三个条件：①a=2;②B=45°;③c=3b. 试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）. 16.（本小题满分14分）如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点. （1）求证：B1D1∥平面A1BD; （2）求证：MD⊥AC; （3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 17.（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a-3x500）万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？ 18.（本小题满分16分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，-10）. （1）求双曲线方程; （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：MF1·MF2=0; （3）求△F1MF2的面积. 19.（本小题满分16分）已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（其中a>0为常数）. （1）当a=1时，判断f（x）的极值是否存在，若存在，求出其极值;若不存在，请说明理由; （2）讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性; （3）当a∈[3，+∞）时，有f（e）>1e+k（k∈R），試求k的取值范围. 20.（本小题满分14分）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … 已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为数列{bn}，且b2=4，b5=10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{cn}，其前n项和为Sn. （1）求数列{bn}的通项公式; （2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13=1. ①求Sn; ②记M={n|（n+1）cn≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围. 第Ⅱ卷（附加题共40分） 21.（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答） A.（选修42：矩阵与变换）（本小题满分10分） 已知a，b∈R，若矩阵M=-1ab3所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求M-1. B.（选修44：坐标系与参数方程）（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0（a>0）被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2，求a的值. C.（选修45：不等式选讲）（本小题满分10分） 已知a>0，b>0，n∈N*.求证：an+1+bn+1an+bn≥ab. [必做题]第22题、第23题，每题10分 22.（本小题满分10分）已知向量a=（x，3y），b=（1，0），且（a+3b）⊥（a-3b）. （1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程; （2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围. 23.在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和. （1）试用组合数表示这个一般规律; （2）在数表中试求第n行（含第n行）之前所有数之和; （3）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1 第5行1 5 10 10 5 1 第6行1 6 15 20 15 6 1 …… 参考答案 一、填空题 1.（0，14） 2.-1+3i 3.5-12 4.4 5.21 6.3 7.370 8.2n+1-2 9.（π4，1） 10.2 11.1 12.（-4，2） 13.22-2 14.316 解析：1、解由a，所以0 2、解>0a =f（x）. 3、解由k得a=0，即f（x）=2lnx+1x-x， ∴f′（x）=2x-1x2-1=-x2-2x+1x2=-（x-1）2x2=-1，即≤0，即f（x），（0，+∞） 两边同除以f′（x）=a+1ax-1x2-1=x2-（a+1a）x+1x2=-（x-a）（x-1a）x2，得x>0，a>0，解得0<a<1，由0<1a>1<1，∴x∈（0，a）时，f′（x）<0. 4、解由方差公式，s2=1n（x21+x22+…+x2n-nx2），得x=2，则所求平均数为 14[（x1+2）+（x2+2）+（x3+2）+（x4+2）]=x+2=4. 5、解∵函数>0的定义域满足不等式a∴f（x），∴f（x）. ∵a∈[3，+∞）=f（e）>1e+k（k∈R）， ∴ka的最大值为21. 6、解 由程序框图可知：y=（x2（x2）2x3（2<x5）1x（x>5）） 由（x2x2x）或（2<x52x3x）或（x>51xx）得x=0或x=1或x=3，所以满足条件的x值有3个 7、解：加工出来的正品率为P1=6970×6869×6768=6770，∴次品率为P=1-P1=370. 8、解析：∵an+1-an=2n， ∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 =22n12+2=2n-2+2=2n. ∴Sn=22n112=2n+1-2. 9、解∵k的一条对称轴为a，则f（x）=2lnx+1x-x， ∴f′（x）=2x-1x2-1=-x2-2x+1x2=-（x-1）2x2.由-≤0 令1a>1，则x∈（0，a）时，f′（x）<0， ∴函数x∈（a，1）时，f′（x）>0的对称中心为f（x）（0，a）.其中与（a，1）轴最近的对称中心为a. 10、解 过B作BE垂直于准线l于E，∵AM=MB，∴M为AB中点，∴|BM|=12|AB|.又斜率为3，∠BAE=30°，∴|BE|=12|AB|，∴|BM|=|BE|， ∴M为抛物线的焦点，∴p=2. 11、解由f（0）=0，f（1-x）+f（x）=1，f（x3）=12f（x），得f（1）=1，f（13）=12，f（23）=12，因为13<512<23，所以f（13）≤f（512）≤f（23），所以f（512）=12，所以f（13）+f（512）=1. 12、解画出可行域，目标函数可化为y=-a2x+12z，根据图象判断，当目标函数的斜率-1<-a2<2时，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，这时a的取值范围是（-4，2）. 13、解由已知得P的坐标满足（x1+1，y1）·（x1-1，y1）=3，即x21+y21=4，动点Q的坐标满足（x2，y2）=（12t）（4，0）+（12t）（0，4），故x2=2-4t，y2=2+4t，即x2+y2=4.|PQ|的最小值即圆x2+y2=4上的点到直线x+y=4上的点的最小距离：最小距离为22-2，故|PQ|的最小值是22-2. 14.解 由x∈（0，a）時，f′（x）<0，得x∈（a，1）时，f′（x）>0，即f（x）， 则（0，a）（a，1）. 圆a：x∈（0，1）的圆心为（1，1），又直线f′（x）=-（x-1）2x2<0过圆心，则f（x）， 所以（0，1），当且仅当a>1时取等号， 因此0<1a<1=x∈（0，1a）. 二、解答题 15.解：（1）依题意得2sin（A+π3）=2， 即sin（A+π3）=1， ∵0 ∴A+π3=π2，∴A=π6. （2）方案一：选择①②; 由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=22. ∵A+B+C=π， ∴sinC=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=2+64. ∴S=12absinC=12×2×22×2+64=3+1. 方案二：选择①③. 由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2， 即b2+3b2-3b2=4，解得b=2，c=23， 所以S=12bcsinA=12×2×23×12=3. 说明：若选择②③，由c=3b得，sinC=3sinB=62>1不成立，这样的三角形不存在. 16.（1）证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面BB1C1C是平行四边形，得BB1∥DD1， 又∵BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形， ∴B1D1∥BD. 而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD， ∴B1D1∥平面A1BD. （2）证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD， ∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC，且BD∩BB1=B， ∴AC⊥平面BB1D. 而MD平面BB1D，∴MD⊥AC. （3）解：当点M为棱BB1的中点时， 平面DMC1⊥平面CC1D1D. 取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示. ∵N是DC的中点，BD=BC， ∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线， ∵D1D⊥平面ABCD，而D1D平面DCC1D1， ∴平面ABCD⊥平面DCC1D1， ∴BN⊥平面DCC1D1. ∵NN1平面DD1C1C，∴BN⊥NN1. 又可证得O是NN1的中点， ∴BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形. ∴BN∥OM.∴OM⊥DC，且OM⊥NN1， 又DC，NN1平面CC1D1D，且DC∩NN1=N， ∴OM⊥平面CC1D1D. ∵OM平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D. 17.解：（1）由题意得： 10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000， 即x2-500x≤0，又x>0，所以0 即最多调整500名员工从事第三产业. （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a-3x500）x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1000-x）（1+0.2x%）万元， 则10（a-3x500）x≤10（1000-x）（1+0.2x%）， 所以ax-3x2500≤1000+2x-x-1500x2， 所以ax≤2x2500+1000+x，即a≤2x500+1000x+1恒成立， 因为2500x+1000x≥22x500×1000x=4， 当且仅当2x500=1000x，即x=500时等号成立. 所以a≤5，又a>0，所以0 18.（1）解：∵e=2，∴设双曲线方程为x2-y2=λ. 又∵双曲线过（4，-10）点，∴λ=16-10=6， ∴双曲线方程为x2-y2=6. （2）证明：法一 由（1）知a=b=6，c=23， ∴F1（-23，0），F2（23，0）， ∴kMF1=m3+23，kMF2=m3-23， ∴kMF1·kMF2=m29-12=m2-3， 又点（3，m）在双曲线上，∴m2=3， ∴kMF1·kMF2=-1，MF1⊥MF2， ∴MF1·MF2=0. 法二 ∵MF1=（-3-23，-m）， MF2=（23-3，-m）， ∴MF1·MF2=（3+23）（3-23）+m2 =-3+m2. ∵M在双曲线上，∴9-m2=6， ∴m2=3，∴MF1·MF2=0. （3）解：∵在△F1MF2中，|F1F2|=43，且|m|=3， ∴S△F1MF2=12·|F1F2|·|m|=12×43×3=6. 19.解：（1）当a=1时，f（x）=2lnx+1x-x， f′（x）=2x-1x2-1=-x2-2x+1x2 =-（x-1）2x2≤0， 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，因此不存在极值. （2）f′（x）=a+1ax-1x2-1=-x2-（a+1a）x+1x2 =-（x-a）（x-1a）x2（x>0，a>0） ①当0 此时f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，1）上单调递增; ②当a=1时，由（1）知，x∈（0，1）时，有f′（x）=-（x-1）2x2<0恒成立， 此时f（x）在区间（0，1）上单调递减; ③当a>1时，则0<1a<1，故x∈（0，1a）时，f′（x）<0，x∈（1a，1）时，f′（x）>0， 此时f（x）在区间（0，1a）上单调递减，在区间（1a，1）上单调递增. （3）由题意f（e）>k+1e，即a+1a+1e-e>1e+k，即e+k 设h（a）=a+1a（a≥3），则h′（a）=1-1a2=（a+1）（a-1）a2>0对a∈[3，+∞）恒成立， ∴h（a）在区间[3，+∞）上单调递增， ∴h（a）min=h（3）=103. 所以e+k<103，∴k的取值范围为（-∞，103-e）. 20.解：（1）设等差数列{bn}的公差为d， 则b1+d=4，b1+4d=10，解得b1=2，d=2， 所以bn=2n. （2）①设每一行组成的等比数列的公比为q. 由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32<13<42，a10=b4=8， 所以a13=a10q3=8q3，又a13=1，所以解得q=12. 由已知可得cn=bnqn-1， 因此cn=2n·（12）n-1=n2n-2. 所以Sn=c1+c2+c3+…+cn =12-1+220+321+…+n2n-2， 12Sn=120+221+…+n-12n-2+n2n-1， 因此12Sn=12-1+120+121+…+12n-2-n2n-1 =4-12n-2-n2n-1=4-n+22n-1， 解得Sn=8-n+22n-2. ②由①知cn=n2n-2，不等式（n+1）cn≥λ，可化為n（n+1）2n-2≥λ. 设f（n）=n（n+1）2n-2， 计算得 f（1）=4，f（2）=f（3）=6，f（4）=5，f（5）=154. 因为f（n+1）-f（n）=（n+1）（2-n）2n-1， 所以当n≥3时，f（n+1） 因为集合M的元素个数为3，所以λ的取值范围是（4，5]. 附加题参考答案 21.A.对于直线l上任意一点（x，y），在矩阵M对应的变换作用下变换成点（x′，y′）， 则-1ab3xy=-x+aybx+3y=x′y′， 因为2x′-y′=3， 所以2（-x+ay）-（bx+3y）=3， 所以-2-b=2，2a-3=-1，解得a=1，b=-4. 所以M=-11-43， 所以M-1=3-14-1. B.直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 2x+y+a=0， 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+（y-2）2=4， 因为截得的弦长为2，所以圆心（0，2）到直线的距离为4-1=3， 即|2+a|5=3，因为a>0，所以a=15-2. C.证明：先证an+1+bn+1an+bn≥a+b2， 只要证2（an+1+bn+1）≥（a+b）（an+bn）， 即要证an+1+bn+1-anb-abn≥0， 即要证（a-b）（an-bn）≥0， 若a≥b，则a-b≥0，an-bn≥0， 所以（a-b）（an-bn）≥0， 若a 所以（a-b）（an-bn）>0， 综上，得（a-b）（an-bn）≥0. 从而an+1+bn+1an+bn≥a+b2， 因为a+b2≥ab， 所以an+1+bn+1an+bn≥ab. 22.解：（1）由题意得a+3b=（x+3，3y）， a-3b=（x-3，3y）， ∵（a+3b）⊥（a-3b）， ∴（a+3b）·（a-3b）=0， 即（x+3）（x-3）+3y·3y=0. 化简得x23+y2=1， ∴Q点的轨迹C的方程为x23+y2=1. （2）由y=kx+m，x23+y2=1 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m2<3k2+1. ① （i）当k≠0时，设弦MN的中點为P（xP，yP），xM、xN分别为点M、N的横坐标， 则xP=xM+xN2=-3mk3k2+1， 从而yP=kxP+m=m3k2+1， kAP=yP+1xP=-m+3k2+13mk， 又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN. 则-m+3k2+13mk=-1k，即2m=3k2+1， ② 将②代入①得2m>m2，解得0 由②得k2=2m-13>0，解得m>12， 故所求的m的取值范围是（12，2）. （ii）当k=0时，|AM|=|AN|， ∴AP⊥MN，m2<3k2+1，解得-1 综上，当k≠0时，m的取值范围是（12，2）， 当k=0时，m的取值范围是（-1，1）. 23.解：（1）Crn+1=Crn+Cr-1n. （2）1+2+22+…+2n=2n+1-1. （3）设Cr-1n∶Crn∶Cr+1n=3∶4∶5， 由Cr-1nCrn=34，得rn-r+1=34， 即3n-7r+3=0. ① 由CrnCr+1n=45，得r+1n-r=45， 即4n-9r-5=0. ② 解①②联立方程组，得n=62，r=27， 即C2662∶C2762∶C2862=3∶4∶5.
