一道解三角形典型题的剖析与反思

吴卫东

到高考复习后期，同学们已经做了大量的习题，但这远远不够，还必须经过系统的梳理与反思的过程，才能使得自己的解题能力有质的提升.下面老师通过对一道解三角形典型题的深入剖析来谈谈如何进行总结与归纳所学知识和方法.

例：如图，在△ABC中，cos∠BAC=13，AC=2，点D在线段BC上，且CD=2DB，AD=433，求AB的长.

一道习题在手，若能打开思维的窗扉，从各种角度去考虑，寻求不同的解题策略，对提高我们的解题能力大有帮助.解题后认真总结，摸索规律，举一反三，其收益更为明显.

分析1：将已知的元素纳入△ABC，△ABD，△ADC中，由∠ADB=π-∠ADC，cos∠ADB=-cos∠ADC，在△ABC，△ABD，△ADC中分别使用余弦定理，利用方程思想解决问题.

方法1：

解：设BD=x，AB=y，则CD=2x，BC=3x，在△ABC中，

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，

即（3x）2=4+y2-43y ①

在△ABD，△ACD中，

cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD

=-cos∠ADC=-AD2+CD2-AC22AD·CD，

即x2+（433）2-y2x=-（433）2+4x2-42x，

化简得3x2-y2=-6 ②

由①式与②式解得x=1，y=3.所以AB=3.

反思：一般地，由cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=-cos∠ADC=-AD2+CD2-AC22AD·CD，

得AD2=AB2·DCBC+AC2·DBBC-DB·DC，即几何中比较著名的斯特瓦尔特定理.

还有如下推论：

在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD.

（1）若AB=AC，则AD2=AB2-BD·DC;

（2）若AD为BC中线，则AD2=AB2+AC22-BC24（即中线长公式）;

（3）若AD为∠BAC内角平分线，则AD2=AB·AC-BD·DC（即角平分线长公式）;

（4）若AD为∠BAC外角平分线，则AD2=-AB·AC+BD·DC;

（5）若BDBC=λ，则AD2=λ·（λ-1）·BC2+（1-λ）·AB2+λ·AC2.

变式1：（2015年安徽卷理16）在△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长.

解析：在△ABC中，由余弦定理得BC=310.在△ABD与△ACD中，利用cos∠ADC+cos∠ADB=0求解.

设AD=BD=x，∠ADB=θ，则∠ADC=π-θ，

在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosθ，即

36=2x2-2x2cosθ ①

在△ACD中，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos（π-θ），即

18=x2+（310-x）2+2x（310-x）cosθ ②

由式①，②式得x=10，即AD=10.

分析2：已知∠BAC，AC边长，要求的是AB边长，

自然可联想到数量积公式

AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC，

又已知了AD边的长，只需将向量AB与AC作为基底来表示向量AD即可，这样就得到了如下的向量法.

方法2：解：∵CD=2DB，∴CD=2DB，

則AD-AC=2（AB-AD），即AD=AC+2AB3，

∴（AD）2=（AC+2AB3）2

=AC2+4AB2+4AC·AB9

=4+4AB2+4×2×|AB|×cos∠BAC9

=4+4AB2+4×2×|AB|×139=163，

化简整理得3AB2+2|AB|-33=0，解得|AB|=3或|AB|=-113（舍），

所以|AB|=3.

反思：

（1）一般地，在△ABC中，若BD=λDC（λ≠0，-1），则AD=AB+λAC1+λ;

（2）涉及边长与角度的问题时，向量作为工具性方法切不可忘记.

变式2：如图，在△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD=kAC.求k的取值范围.

解析：由角平分线定理，BDDC=ABAC=2，

则AD=AB+2AC3，

（AD）2=（AB+2AC3）2

=AB2+4AC2+4AB·AC9，

k2AC2=4AC2+4AC2+8AC2cos∠BAC9，

k2=8+8cos∠BAC9∈（0，169），∴k∈（0，43）.

分析3：点D是边BC上的三等分点，过点B作边AC的平行线，与AD的延长线相交于点E，进而可得△ACD与△BDE相似，这样可将边角元素集中到△ABE中去研究.

方法3：解：△ACD与△BDE相似得BEAC=DEAD=BDDC=12，则BE=1，DE=233，AE=23，在△ABE中，cos∠ABE=-cos∠BAC=-13，由余弦定理得，AE2=BE2+AB2-2BE·AB·cos∠ABE，

即（23）2=12+AB2-2·AB·（-13），化简整理得3AB2+2AB-33=0，解得AB=3或AB=-113（舍），

所以AB=3.

反思：三角形作为最基本最重要的平面图形，在解决问题的过程中，若能适时地使用平面几何性质，将起到事半功倍的作用.

变式3：（2018年江苏高考第13题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，求4a+c的最小值.

解析：点D是边AC上的分点，过点C作边AB的平行线，与BD的延长线相交于点E，进而可得△ABD与△CDE相似，ADDC=ABCE=BDDE，由内角平分线定理知，ADDC=ABBC=ca，BE=BD+DE=1+ac，在△CBE中，∠BCE=60°，∠EBC=60°，△CBE是正三角形，BE=BC=BD+DE=1+ac=a，即1a+1c=1.4a+c=（4a+c）（1a+1c）=5+ca+4ac≥5+2ca·4ac=9，当且仅当c=2a=3时取到最小值9.

分析4：题设条件中出现定角cos∠BAC=13，定长AC=2，可将平面图形置入平面直角坐标系中求解.

方法4：解：以点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设AB=m，

则C（23，423），B（m，0），又由CD=2DB

得D（2m3+29，429），由AD=433，得（2m3+29）2+（429）2=（433）2，化简得3m2+2m-33=0，解得m=3或m=-113（舍）.所以AB=3.

反思：建立了平面直角坐標系后，解决几何问题便多了一种方便、快捷的方法——坐标法.很多试题，当你无法找到突破口时，使用坐标法会给你一种新的启迪和数学美感.

变式4：在等腰△ABC中，AB=AC，M为BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=12DB，AE=3EC，若∠DME=90°，求cosA的值.

解析：以点M为坐标原点，边BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设C（a，0），A（0，b），则D（-a3，2b3），E（3a4，b4），

∴MD=（-a3，2b3），ME=（3a4，b4），

∵∠DME=90°，∴MD·ME=0，

∴（-a3，2b3）·（3a4，b4）=0，

化简得，a=63b，

∵AD=（-a3，-b3），AE=（3a4，-3b4），

∴cosA=AD·AE|AD||AE|=15.

一题多解固然可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题.但需要注意的是一题多解并非炫技，也不能刻意去追求偏、怪的奇异解法，因为我们最终的目的是多题一解，也就是说，一定要注意对知识、方法等的整合，寻找规律，加深对数学原理、通用通法的认识，从而能够解决其它相似问题.一题多解与多题一解相互结合，一放一收，相得益彰.在变式中寻求通法，在探究中升华能力，实现从量变到质变的飞跃.