一个积分不等式的推广

摘 要：本文通过对一个常见积分不等式条件的不断加强，从而对该积分不等式进行一步步推广，并应用泰勒公式对其进行证明。

关键词：定积分；不等式；泰勒公式

一、 引言

在高等数学教材[1]和教辅中常见如下积分不等式：

命题1：设f（x）在[0，1]区间上有连续导数，且f（0）=f（1）=0，

则有∫10f（x）dx≤14max0≤x≤1f′（x）。

文[2]将命题1中区间条件拓展到任意闭区间[a，b]上，推广得到：

命题2：设f（x）在[a，b]区间上有连续导数，且f（a）=f（b）=0，

则有∫baf（x）dx≤（b-a）24maxa≤x≤bf′（x）。

对于以上命题，可以采用分部积分的方法进行证明。（证明过程详见文）

二、 命题的推广

将命题2中可导条件加强为f（x）有连续二阶导数，推广得到：

命题3：设f（x）在[a，b]区间上有连续二阶导数，且f（a）=f（b）=0，

则有∫baf（x）dx≤（b-a）312maxa≤x≤bf″（x）。

对于命题3，可以采用分部积分或泰勒公式的方法进行证明。

三、 最终结论

最后，将命题3中可导条件加强为f（x）有连续n阶导数，推广得到更一般的不等式形式：

命题4：设f（x）在[a，b]区间上有连续n阶导数，且f（k）（a）=f（k）（b）=0（k=0，1，…，n-2），

则有∫baf（x）dx≤（b-a）n+1n（n+1）！maxa≤x≤bf（n）（x）。（n≥2）

证：对于x∈（a，b），由泰勒公式有：

f（a）=f（x）+f′（x）（a-x）+f″（x）2！（a-x）2+…+f（n）（ξ）n！（a-x）n，ξ∈（a，x）

f（b）=f（x）+f′（x）（b-x）+f″（x）2！（b-x）2+…+f（n）（η）n！（b-x）n，η∈（x，b）

因为f（a）=f（b）=0，故有：

f（x）=（x-a）f′（x）-（a-x）2f″（x）2-…-（a-x）nf（n）（ξ）n！

f（x）=（x-b）f′（x）-（b-x）2f″（x）2-…-（b-x）nf（n）（η）n！

将两式相加得：f（x）=（x-a+b2）f′（x）-14（（a-x）2+（b-x）2）f″（x）-…-12n！（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））

兩边积分得：

∫baf（x）dx=∫bax-a+b2f′（x）dx-14∫ba（（a-x）2+（b-x）2）f″（x）dx

-…-12n！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx

=∫bax-a+b2df（x）-14∫ba（（a-x）2+（b-x）2）df′（x）

=x-a+b2f（x）ba-∫baf（x）dx

-14[（（a-x）2+（b-x）2）f′（x）ba-∫ba（4x-2a-2b）f′（x）dx]

-…-12n！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx=-∫baf（x）dx+14（（4x-2a-2b）f（x）ba-4∫baf（x）dx）-…-12n！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx

=-（n-1）∫baf（x）dx-12n！∫ba[（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η）]dx

∴∫baf（x）dx=-12nn！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx

∴∫baf（x）dx=12nn！

∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx≤12nn！（∫ba（a-x）nf（n）（ξ）dx+∫ba（b-x）nf（n）（η）dx）

≤12nn！maxa≤x≤bf（n）（x）（∫ba（a-x）ndx+∫ba（b-x）ndx）

=（b-a）nn（n+1）！maxa≤x≤bf（n）（x）

命题得证。

四、 结论

本文对文[1]和文[2]中的积分不等式进行推广得到命题3和命题4，并应用泰勒公式对命题进行证明。命题4的特殊情况即为命题3。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）6版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]赵显曾.两个积分不等式[J].大学数学，2015，31（1）：78-80.

作者简介：

周耘，江苏省南京市，东南大学成贤学院基础部。