一种方阵的反问题解

杨恩孝,许佰雁

（长春光华学院基础部,吉林长春130033）

给定一个方阵，可求其特征值和特征向量，且特征值和特征向量具有一些很好的性质。但反过来，若已知某方阵的特征值和对应的特征向量，如何求出原矩阵呢？这类问题，我们称之为矩阵反问题[1-3]。主要根据特征值的某些特点，给出一种反求矩阵的具体方法，并举例验证。

1 n阶方阵有n个不同的特征值

定理1若n阶方阵A有n个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn，与其对应的特征向量分别为α1,α2,…,αn，则存在可逆矩阵P，使得方阵

A=PΛP-1，

证明由矩阵特征值的性质知，属于不同特征值的特征向量必无关，故 α1,α2,…,αn无关。令P=(α1,α2,…,αn)，则 P 可逆。又因为 Aαi=λiαi(i=1,2,…,n)，故

即AP=PΛ，其中

例1已知某三阶方阵A的特征值分别为λ1=1,λ2=-1,λ3=2 ，对应的特征向量为 α1=(1,0,-1)T,α2=(0,0,1)T,α3=(2,1,-2)T，求矩阵A。

解由于特征值互不相同，故矩阵P可逆，则

由上述定理知：

2 n阶方阵有多个重特征值

定理2若n阶方阵A有m个互不相同的特征值 λ1,λ2,…,λm，其中 λ1为 k1重、λ2为 k2重、…、λm为km重，k1+k2+…+km=n。不同的特征值具有与重数相同的个数的特征向量，分别为α1,α2,…,αk1,β1,β2,…,βk2，…，γ1,γ2,…,γkm则

A=PΛP-1，

其中P=(α1,α2,…,αk1,β1,β2,…,βk2,…,γ1,γ2,…,γkm)，

证明同定理1。

例2已知某三阶方阵A的特征值分别为λ1=λ2=1,λ3=-2 ，对应的特征向量分别为α1=(-2,0,1)T,α2=(0,0,1)T,α3=(-1,1,1)T，求矩阵 A。

解令

由于特征值互不相同，故矩阵P可逆，则

由上述定理知,

3 n阶实对称方阵有多个重特征值

说明：n阶实对称方阵有n个互不相同特征值时的结论同定理1。

引理1设n阶实对称矩阵 A的特征值为λ1,λ2，其重数分别为1，n-1，与 λ1特征值对应的特征向量为α1，则

引理2设n阶实对称矩阵 A的特征值为λ1,λ2，其重数分别为k，n-k，与λ1特征值对应的k个两两正交的单位特征向量为α1,α2,…,αk，则

上述引理(见文献3)只给出了n阶实对称方阵有2个互不相同特征值时的结论，下面我们给出3个不同特征值的结论。

定理3设n阶实对称矩阵 A的特征值为λ1,λ2,λ3，其重数分别为 k1,k2,k3，与 λ1特征值对应的k1个两两正交的单位特征向量为α1,α2,…,αk1，与λ2特征值对应的k2个两两正交的单位特征向量为β1,β2,…,βk2，则

证明不妨设与λ3特征值对应的k3个两两正交的单位特征向量为 γ1,γ2,…,γk3，有实对称矩阵特征向量的性质，现在所有的特征向量都是单位正交向量。令

P=(α1,α2,…,αk1,β1,β2,…,βk2,γ1,γ2,…,γk3)，则

所以

例3已知5阶实对称矩阵A的特征值为1,1,2,2,10，对应于特征值λ1=1的特征向量为X1=(- 2,1,0,0,0)T,X2=(2 ,0,1,0,0)T，对应于特征值λ2=2的特征向量为X3=(0 ,0,0,1,0)T,X4=(0 ,0,0,0,1)T，求实对称矩阵A。

解由于属于特征值λ1=1的两个特征向量无关，但不正交。故由施密特正交化方法，令X1′=X1=(- 2,1,0,0,0)T，则

令

由定理3，可知

定理3还可以推广到特征值为3个以上，利用此方法可以解决矩阵的反问题。