杨辉算法中的比类问题——以《田亩比类乘除捷法》上卷为例

赵 晨，宋芝业

（内蒙古师范大学科学技术史研究院，内蒙古呼和浩特010022）

关于杨辉算书的研究，前辈学者做出了大量极有价值的研究成果。李俨的《宋杨辉算书考》对杨辉所著各算书传本做了详尽的描述，此外严敦杰以及郭书春等人，对在杨辉算书自古至今流传的过程中遗失的部分，通过辑录《永乐大典》和《诸家算法》等文集进行了补录。其它对于杨辉算书的研究大部分以算术内容的考证及分析为导向。

但在这些工作之外，对于杨辉在《田亩比类乘除捷法》中运用到的比类思想却很少被提及，有待于进一步的研究及发掘；但杨辉的该种比类思想却在中国古代的数学发展中占有着重要的地步，并且对于当今社会的数学教育的发展也有着借鉴意义[1-4]。通过探讨比类这一思想，来分析和归纳杨辉在《田亩比类乘除捷法》该著作中运用到的数学思维方法，来试图找出在数学教学发展上的些许启发。

1 杨辉与《田亩比类乘除捷法》概述

杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。

他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷（1261），《日用算法》2卷（1262），《乘除通变本末》3卷（1274），《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）和《续古摘奇算法》2卷（1275）（其中《详解》和《日用算法》已非完书）。后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。

《田亩比类乘除捷法》该书，通过杨辉的自序“目之曰：田亩比类乘除捷法。庶少裨汲引之梯径云尔。时岁在乙亥德祐改元小暑节。钱塘杨辉谨序。”我们可以得出，该书成书于南宋德祐乙亥年(公元1275年)小暑时节。

《田亩比类乘除捷法》上卷共有三十七问，分别为：步法直田,比斤、匹、斛三问；直田步下带尺，比斤两、匹尺二问；直田步下带寸，比斤两铢、匹尺寸二问；方里田，比方围箭；圆田，畹田比牛角丘田三问；环田，比方箭、圆箭二问；圭田，比勾股梭田二问；梯田，比田垛周围十四问。

《田亩比类乘除捷法》下卷共有二十七问，分别为：桑墙四不等田三问；截直田两问；差步问长阔和三问；和步问长阔差三问；直田演段四问；共积分方径、截圭、梯、环、圆田八问；钱田三问。

书中主要是讲述有关平面图形面积计算的问题，其提到的直田、方田、圆田、环田、圭田、梯田等，分别指代今天的长方形、正方形、圆形、圆环形、三角形、梯形等。同时杨辉将其他的计算问题诸如求价格、重量等也比类为平面图形面积计算的问题，来进行求解。

2 《田亩比类乘除捷法》上卷中例题

杨辉于《田亩比类乘除捷法》该书上下两卷中创造性的将一般数学问题比类为田亩的面积。现根据杨辉在书中对数学问题的分类将例题归纳为以下几类：

2.1 直田法

铜三十六砣，每砣重四十八斤，问共若干。

答曰：一千七百二十八斤。

草曰：以三十六砣，乘四十八斤。于砣上定斤，得一千七百二十八斤。合问。

现在有铜一共三十六砣，每砣铜重四十八斤，问一共有多少

答案：一共有一千七百二十八斤。

计算过程：用三十六砣，乘上每砣的重量四十八斤，从而得到总重量为一千七百二十八斤，见图1。

图1 直田法示意图

2.2 直田步下带尺寸

物七斤六两，每斤八贯二百文，问钱几何。

答曰：六十贯四百七十五文。

草曰：以十六两通七斤，并六两，共一百一十八两;以八贯两百乘，得九百六十七贯六百；以十六除之。合问。

物品的重量是七斤六两，每斤的价格是八贯两百文，问一共需要多少钱？

答案：一共需要六十贯四百七十五文。

计算过程：一斤是十六两，来进行换算，得到一共是一百一十八两，再乘以每斤的价格，八贯两百文，之后再除以十六，见图2。

图2 直田步下带尺寸示意图

2.3 比类斤、匹通分

银九斤六两六铢，每两三贯四百文,问共几何。

答曰：五百一十贯八百五十文。

草曰：以十六两通九斤，并六两;又二十四铢通两，并入六铢。

共为三千六百六铢。借两价三贯四百为乘。用铢法二十四除之。得答数。

一草：不通铢以六铢为两下二分五厘，便用两价三贯四百乘一百五十两二分五厘。亦合问。

有银子九斤六两六铢，银子的价格是每两三贯四百文，问总价格是多少？

答案：价格是五百一十贯八百五十文。

计算过程：用一斤等于十六两来换算九斤，再加上六两，再用一两等于二十四铢进行换算，在加上六铢，一共得到三千六百六铢，再乘以银子每两的价格三贯四百文，后再除以二十四，便得到答案，见图3。

另一算法：不用铢进行通分，用六铢换算为零点二五两，后用银子每两的价格三贯四百文乘以总重一百五十两二分五厘，也可以得到答案。

图3 比类斤、匹通分示意图

2.4 方里田

方箭外围四十枝，问共箭若干。

答曰：一百二十一枝。

本法：外围添八;以乘外围;十六而一;添心箭。

借方田法：外围两折半;增一，为方面，自乘之。又借用梯田法：并内、外围;折半;以层数乘之;外围求积以八除之，为层数。

有成方形箭枝一捆，外围一共有四十枝，问一共有多少枝箭。

答案：一共有一百二十一枝。

计算过程：用外围箭支的数目四十加上八之后，再乘以四十，再除以十六，再加一，见图4。

借用方田的方法：外围箭支的数目除以四，再加一，之后再平方。或者借用梯田法，将内外围的数字相加，除以二，再乘以层数；外围的平方除以八所得数即为层数。

图4 方里田示意图

2.5 梯田法

圆箭外围三十六枝，问共几枝。

答曰：一百二十七枝。

本法：外围添六;以乘外周;十二而一;增心箭。

借梯田法：以内围六枝，并外围三十六枝，共四十二;以六层乘之，得二百五十二;折半;加心箭。合问。以六除外围.即知层数。

有成圆形箭枝一捆，外围一共有三十六枝，问一共有多少枝箭。答案：一共有一百二十七枝。

计算方法：用外围数加上六，再乘以外周数，除以十二，再加一，见图5。

借用梯田的方法：用内围的六枝，加上外围的三十六枝，一共得到四十二枝，乘以六层，得到二百五十二，除以二，再加一。用外围数除以六，即可得到层数。

图5 梯田法示意图

2.6 圭田法

今有圭垛一堆，上一束，底阔八束。梯草垛二堆：小堆上有六束、底阔十三束；大堆上有九束、底阔十六束。问共几束。

答曰：二百一十二束。

术曰：依梯垛，并三堆上下广，以髙乘之；折半。

草曰：并三堆上、下广，共五十三；以高八层乘，得四百二十四；折半，得二百一十二束。合问。

现在有圭垛一堆，上边有一束，下面有八束；梯草垛二堆：小梯草垛上边有六束，下边有十三束；大梯草垛上边有九束，下边有十六束。问一共有多少束。

答案：一共有二百一十二束。

计算方法：按照梯垛的计算方法，将三堆的上边长和下边长相加，乘以高，再除以二。

计算过程：将三堆的上边长和下边长相加，得到五十三；再乘以高，高为八层，得到四百二十四；再除以二，得到二百一十二，见图6。

图6 圭田法示意图

2.7 差步问长阔和

给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两。问总是几人，每人各得几两。

答曰：二十四两，三十六人。

银多为长，人少为阔。银多十二两即长阔之差数也。取用同前。带从开平方除之。

现在一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子的数目比总人数多十二，问一共有多少人，每个人分得多少两银子。

答案：每个人分得二十四两，一共有三十六人，见图7。

图7 差步问长阔和示意图

3 比类的定义

何为比类？笔者认为要理解此概念，不妨将比类二字进行拆分，一为比，二为类；

关于比的定义如下：比者，密也。二人爲从，反从爲比。凡比之屬皆从比。夶，古文比，毗至切。两人相随构成“从”字，反写“从”字遂成“比”。所有与比相关的字，都采用“比”作边旁。夶，这是古文写法的“比”字。

而“类”字，在中国古代文化中的意思指“相似”、“相象”、“有”、“相同”或“相等”，例如，杨辉在此处，将普通的乘法运算比类为田亩面积的求证，究其根本原因二者存在着相似性，在此处都是简单的相乘。据此，简而言之,相同即为同类,相异则为是异类。

同时，在“比类”一词中，“类”，是作为行动来实现其义的,是作为一个动词出现在具体语句中的。总之,在中国古代文化中,“类”与同异、有无的认识联系在一起。“类”首先是事物间同异关系的概括,但主要指“类别”、“类同”或“不类”。

据此可以推断出“比类”二字的释义，即通过比较物间的同异关系和联系，以进行归纳和演绎，并从而做出进一步的释义和分析。

4 杨辉采用比类的原因

以今天的角度来看，上述三题的解答并不是十分的困难，只是简单的乘法运算。但杨辉却将问题比类，并做出了图示，来解决这一问题，探究其原因，归结为以下几点：

4.1 数形结合的意义

谈及数形结合的意义，我国著名的数学家华罗庚先生曾写过一首非常有名的诗，该诗生动形象地描述了数形结合的思想，以及数与形的复杂的内在关系，“数形本是相依好，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离”。

同时，我们知道，人类在上古时期对“形”的认识比对“数”的认识远为直接而深刻。无疑这是由于“形”的概念可以直接从生活、生产实践中获得，而“数”的概念则只能是人类头脑抽象思维的产物，有史实作证：在法兰西和西班牙地穴里。大约1万5千年前就绘有图形，在中国西安半坡遗址也发现圆形与正方形房屋地基。出土器皿有各种规则的形状，其上有几何图案纹饰。这些都反应了古代人类对方、圆、直、曲有清晰的认识。

在数学研究中，我们大体上可以将分析的问题分为两大方面，分别为：“数”与“形”，此二者具有本质的，内在的联系，且二者具有高度的对立统一关系。在分析数学问题时，二者是相辅相成的，若将其分割开来，则将会使问题复杂以及困难化。单一的数字或者图表往往使人难以理解，及产生困倦，当将二者统一结合时，往往可以使复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，琐碎的问题具体化，从而最终实现解决数学问题，提升数学思维这一最终目的。

据此，杨辉为了令自己的问题看起来更加的直观，更加的令学者便于理解，启发学者的数学思维，所以采用了数形结合这种的处理方式。同时，杨辉的这种处理方法也再次体现了中国古代数学中“数”与“形”相统一的观点。

4.2 杨辉的“须责实有”思想

杨辉不仅是一位杰出的数学家，还是一位杰出的教育家，关于采用“田亩”进行比类，也与其的教育思想有关。杨辉在其本人的著作：《日用算法》序中提出：“以乘除加减为法，称斗尺田为问”“用法必载源流，命题须责实有”。“须责实有”就是要求数学学习的内容，必须以社会生产、生活实践中所提出的问题为依据，换句现代用语，就是必须与实践相结合。结合杨辉曾在台州地区进行土地测量工作，因此其将算术问题比类为田亩就不足为奇了。其在书中先后5次引用台州量田图，在《续古摘奇算法》卷上，还记有“辉伏睹京城见官斛号杭州百合，浙郡一体行用”。这种与实践紧密结合进行数学教学与数学研究的方法，也是中国古代数学家的优良传统。

杨辉的这种实践与教学相统一的观点是具体与抽象完美的结合，对于刚刚接触算术的学者是十分有益的。这也是作为数学教育家的杨辉的匠心之所在。

5 比类的影响

杨辉的“比类”思想，从本质上讲，可以归类为推类逻辑，该逻辑的积极方面便是对中国古代数学产生了深刻的促进作用,进一步的讲是该方法推动了中国古代数学的持续发展。

同时,中国古代数学形成了以“推类”为主导推理范式的自身逻辑思路,并且持续到宋元时期。事实上,演绎性的“推类”在刘徽时代就已经发展到很高的水平;到宋元时代,从秦九韶的工作来看,此时的数学思维与数学推理已经开始具有公理化特征。

而西方则与中国不同，与中国的推类相反的是，西方注重的则是对数学定理的证明及运用。从毕达哥拉斯定理的证明作为开始一直到牛顿-莱布尼兹的微积公式的发现，西方数学界走上了一条与古代中国不相同的道路。直到明清以后，西方数学开始领先于中国，这并不能说明西方在数学研究上采用的方法领先于中国。造成这种结果的原因是多方面，不只是与研究所采用的方法有关。

因此所谓的“中国传统思维方式束缚中国古代数学在明代以后进一步发展”的说法,是确实值得商榷的。中国古代数学受到了推类逻辑的影响,形成了自己的推理方法体系——以“类以合类”为方法论基础,以“类”和“分类”为推理的核心成分,以“推类”为主导推理范式。这一方法体系在相当长的时期内使中国古代数学处于世界领先地位。

6 结语

关于杨辉采用“田亩”来进行比类，与杨辉当时所处的时代背景、数与形对于人的直观的印象以及杨辉本人的教育思想有着深远的关系。

杨辉当时所处的时期，正是南宋因为内部的人口膨胀和外部的强敌压境这二者双重压力之下的困难时期，这一内一外的两大因素造成了巨大的土地与人民的矛盾。同时也与杨辉曾在台州地区担任土地测量的官员和其本身“须责实有”的教育思想有关。南宋时期的土地矛盾和杨辉的曾经的工作背景决定了其采用“田亩”来进行比类，而不是其它的物体，其“须责实有”的教育思想其最终会采用比类来解决其算术问题。综合这几大因素，杨辉采用“田亩”来比类其《田亩比类乘除捷法》上卷中的算术问题就不足为奇了。

因此，我们在研究杨辉的比类思想，以及其它的科技史著作时，我们不单单要研究其人，其著作，其思想，同时还要结合作者所处的时代背景，该时代的科技发展程度。才能对其研究的更加的透彻，从而得出正确的结论，领悟到古人高超的智慧。