幂指函数的研究

李 高,常秀芳

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同037009）

1 概念

定义：形如

y=[u(x)]v(x)

的函数，称为幂指函数[1-3]。

其中u(x)与v(x)都是自变量x的函数，定义域是u(x)、v(x)与[u(x)]v(x)同时都有意义的自变量x的取值。

在自变量的某个变化过程中，不定式 0∞、1∞、00、∞0型的函数极限[4-6]，一般都是幂指函数的极限。至于0∞、1∞、00、∞0型的幂指函数都可以经过适当的变形化为这两种类型，然后利用洛必塔法则求之。当然一部分的1∞型的幂指函数可以用第二重要极限求之。诚然1∞型不定式的幂指函数极限有第二重要极限这个利器解之，但并非是万能的。

幂指函数象幂函数，但又不是幂函数；又象指数函数，却又不是指数函数。因此，幂指函数的求导就不能按幂函数或指数函数的显函数导数公式直接求之。

2 对数法

幂指函数y=u(x)v(x)[ ]u(x)＞0取对数隐化，将显函数化为隐函数，得

lny=v(x)lnu(x)。

2.1 求极限

对数法将显函数变为隐函数后两边取极限

limlny=lim[v(x)lnu(x)]，

因对数函数是连续的，极限号与对数符号交换位置得

lnlimy=lim[v(x)lnu(x)]，

由对数与指数互化的性质得

limy=elim[v(x)lnu(x)]。

2.2 求导数

幂指函数y=u(x)v(x)[u (x)＞0]经过对数法得到的隐函数，利用隐函数以及复合函数的求导法则，两边求导得

即

3 恒等变形法

对幂指函数y=u(x)v(x)在求极限或求导时，除了用对数法之外，还可利用恒等变形法把幂指函数化成复合的显函数来求之。

因为y=u(x)v(x)=eln[u(x)]v(x)=ev(x)lnu(x)，则

lim[u(x)]v(x)=elim[v(x)lnu(x)]

例1求函数y=(tanx)sinx的导数。

解法1：两边取对数得

lny=sinxlntanx，

两边再对x求导得

所以

y′=(tanx)sinx(cosxlntanx+secx)。

解法2：因 y=(tanx)sinx=eln(tanx)sinx=esinxlntanx

所以

y′=(esinxlntanx)′=esinxlntanx(sinxlntanx)′=

(tanx)sinx(cosxlntanx+secx)。

从例1也可得知，如果不明确什么是幂指函数，或用幂函数法则求导，结果得到 y′=sinx(tanx)sinx-1；或用指数函数法则求导，得y′=(tanx)sinxlntanx y′=xsinxlnx等都是错误的做法。

例2求函数的xli→m0+(tanx)sinx极限。

解法1：设y=(tanx)sinx，两边取对数得

lny=sinxlntanx

等式两边取极限得，

解法2：因 y=(tanx)sinx=eln(tanx)sinx=esinxlntanx，

所以

总之，首先观察函数，确认为幂指函数后，是采用对数求导法还是恒等变形法，是非常重要的一环。