宜用模型与转化思想来解

秦旭东 段卫华

摘要：习题教学要挖掘学生已掌握的最基本模型.从模型出发，学生才能“知其然更知其所以然”.本文以陕西省一道中考题为例进行说明.

关键词：模型意识;转化思想;中考题

1试题呈现

题目（2017年陕西25第3问）某城市街角有一草坪，草坪是由AABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图1所示，管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水.于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌）.同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.已测出AB=24m，MB=10m，AAMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交AB于点E，又测得DE=8m.请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）.

2试题解析

2.1参考答案

如图2所示，延长ED交AM于点C.

因为AD=DB，AB是劣弧，DE⊥AB，所以AB所在圆的圆心在DC上.

设AB所在圆的圆心为0，半经为r，连接OA，则OA=r，0D=r-8，AD=-AB=12

在Rt△AOD中，r=122+（r-8）2.

解得r=13.所以OD=OE-DE=5.

过点M作MN⊥AB，垂足为N.

因为SgABur=96，AB=24，所以MN=8.

又因为MB=10，所以BN=6，AN=18.

因为CD//MN，所以△ACD～△AMN.

所以CDADMNAN

则CD=163

所以OD

连接MO并延长交AB于点F，在AB上任取异于点F的一点（设为点G），连接GO，GM，则MF=OM+OF=OM+0G>MG，即MF的长为草坪上的点到点M的最大距离.

过点O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3.所以0M=√MH2+0H2=3.5.

所以MF=0M+r=3↓5+13≈19.71.

故喷灌龙头的射程至少19.71m时，才能实现他的想法.

2.2难点分析

解这道题，主要分四步：①求圆的半径;②判定点O是否在△AMB的内部;③借三角形三边关系说明MF是最大值;④求最大值.其中为什么要确定圆心的位置既是教师最难分析的，也是学生最难理解的地方，那么该如何来化解这一难点呢？

简单说：化解难点的方法是用模型与转化思想来处理.

如图3所示，点M是?O的圆内或圆外的任意一.点，则过圆心O点、M点的直线与圆交于点F，点H，则线段MF的长就是点M与圆上任意一点连线的最大值;线段MH的长就是点M与圆上任意一点连线的最小值.用几何直观性来分析：当过点M的直线与过点M直径所在的直线所构成的夹角越小，则相对来说MF的长也就越大了.

2.3模型求解

当学生明白了图3所示的几何模型后，再来说2017年陕西中考第25题的第3问.

若将AB所在的圆（设圆心为点O）给补全，如图4所示，显然问题就转化为图3所示的几何模型了，于是解决问题的思路就明晰了，关键是说明圆心点0是不是在所给图1中，于是设法去求圆的半径、0D的长、DC的长就是自然而然的事了，进而想去求0M的长，思路也就顺畅了，这里就不再赘述了.

从核心素养角度上说，本题重点考查了学生的模型意识、直观想象、逻辑推理和转化思想，要用的知识载体有：垂径定理、相似三角形矩形、构造与解直角三角形等.从讲题角度上说，要注重从学生已掌握的知识（最基本的一些模型）出发，学生才能“知其然更知其所以然”，否则只能“就题论题”.

参考文献：

[1]陕西省教育厅教学研究室.陕西省2018年初中毕业学业考试说明[M].西安：陜西师范大学出版总社有限公司，    2018.