抓性质理解 构模型解题

周泽军 李盼

摘要：习题教学的“根”就是数学模型，习题教学的“魂”在于数学思想方法.一道好的考题，往往是命题者智慧的结晶.本文以一道习题为例，探究其蕴含的数学模型与思想方法，意在阐述中点性质与中点模型的潜在教学价值，旨在让习题教学减负增效，让学生对几何图形的认知逐渐深厚起来，让数学素养的培养“落地生根”.

关键词：中点;基本性质;数学模型;数学思想方法

《义务教育数学课程标准（2011年版）》特别强调：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.如何将学生从穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目解脱出来？通过对基本性质的深刻理解，提炼基本模型，抓住思维的“生长点”、寻求思维的“延伸点”才能真正达到“解一题，会一类，通一片”的效果.

1题目呈现

题目如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为斜边作Rt△ABD，使點D落在△ABC内，∠.ADB=90°，把△ABD绕点A逆时针旋转，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P.求证：BP=CP.

2解法探究

本题的实质是中点、等腰三角形“三线合一”、旋转中的“手拉手”全等与相似问题，因此，可以以基本性质及常见模型作为切入点，打开思维的洪流即：“中线倍长法”“构造中位线法”“三线合一法”“构判定法”“构手拉手”相似法.

2.1中线倍长法

解法1如图2，过点C作CF//BD，交EP的延长线于点F.

因为△ACE是由OABD旋转得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠AEC=∠ADB=90°，AD=AE，CE=BD.所以∠ADE=∠AED，∠ADE+∠BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因为CF//BD，所以∠BDP=∠DFC.

所以∠DFC=∠FEC.

所以CE=CF.

所以BD=CF.

所以△BPD≌CPF（AAS）.

所以BP=CP.

解法2如图3，过点B作BF//CE，交EP的延长线于点F.

因为△ACE是由△ABD旋转得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠.AEC=∠.ADB=90°，AD=AE，CE=BD.所以∠ADE=∠AED，LADE+∠BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因为BF//CE，所以∠BFP=∠PEC.

所以L.BFP=∠BDP.

所以BF=BD.

所以BF=CE.

所以△BPF≌△CPE（AAS）.

所以BP=CP.

2.2构造中位线法

解法3如图4，延长BD到点F，使得DF=BD，连接CD，CF，EF，AF.

因为△ACE是由△ABD旋转得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠AEC=∠ADB=90°，∠BAD=∠CAE，AD=AE，CE=BD=DF.

所以∠ADE=∠AED，∠ADE+∠BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因为AD垂直平分BF，所以AF=AB=AC.所以∠FAD=∠BAD=∠CAE.

所以∠FAD-LCAF=LCAE-∠CAF.

即∠DAC=∠EAF.

所以OADC≌△AEF（AAS）.

所以CD=EF.

所以△FDC≌△CEF（SSS），△EDC≌△DEF（SSS）.所以C.DFC=∠ECF，∠EDF=LDEC.

又因为∠DGE=∠CGF，所以∠.DFC=∠ECF=∠EDF=∠DEC.

因为∠BDP=∠EDF，所以∠BDP=∠BFC.所以DP//CF.

所以BPBD

=1.PC-DF

所以BP=CP.

2.3三线合一法

解法4如图5，过点A作AQ⊥BC于Q，取AB中点F，连接DF，QF.

则QF=DF=二AB，所以A、B、Q、D四点共圆.

所以∠BAQ=∠BDQ.

又因为AB=AC，

所以∠BDQ=CBAQ=TCBAC，BQ=CQ.

因为△ACE是由△ABD旋转得到的，

所以△ACE≌△ABD，∠BAC=∠DAE.

所以∠AEC=∠.ADB=90°，AD=AE.

所以∠.ADE=∠AED，CADE+∠BDP=90°.又因为2∠ADE+∠DAE=180°，

所以2∠ADE+∠BAC=180°.

所以∠ADE+二∠BAC=90°.

所以∠BDP=∠BAC.

所以∠BDQ=∠BDP.所以P、Q重合.

所以BP=CP.

2.4构判定法

解法5如图6，在ED上截取EF=DP，连接FC.

因为△ACE是由△ABD旋转得到的，

所以OACE≌OABD.

所以∠AEC=∠.ADB=90°，AD=AE，CE=BD.所以∠ADE=LAED，LADE+∠，BDP=∠AED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

又因为EF=DP，BD=CE，

所以△BDP≌△CEF（SAS）.

所以∠BPD=∠CFE，BP=CF.

所以∠FPC=LPFC.

所以CP=CF.

所以BP=CP.

解法6如圖7，分别过点B，C作BG⊥直线DP于点G，CF⊥直线DP于点F.

则∠BGD=∠CFE=90°.

因为△ACE是由△ABD旋转得到的，

所以△ACE≌△ABD.

所以∠AEC=∠ADB=90°，AD=AE，CE=BD.

所以∠ADE=∠AED，LADE+LBDP=LAED+∠PEC=90°.

所以∠BDP=∠PEC.

所以△BDG≌△CEF（AAS）.

所以BG=CF.

又因为∠BPG=∠CPF，

所以OBPG≌△CPF（AAS）.

所以BP=CP.

2.5构“手拉手”相似法

解法7如图8，连接AP，过点D作DF⊥PE，交BC于点F，AC与EP交于点G，

则∠PDF=90°=∠ADB.

因为△ACE是由△ABD旋转得到，

所以△ACE≌△ABD.

所以LBAC=∠DAE.

所以AD=AE.

180°-∠DAE.=又因为AB=AC，所以∠AED=

180°-∠BAC=∠ACB.

又因为∠.AED+∠CAD=∠AGP=∠EPC+∠ACB，所以∠EPC=∠EAC=∠BAD.

所以NPDFn△ADB.

所以PDDFADBD

又因为LADP=∠BDP+90°，∠BDF=∠BDP+90°，所以∠ADP=∠BDF.

所以ADPn△BDF.

所以∠PAD=∠FBD.

所以∠APB=∠ADB=90°.

又因为AB=AC，所以BP=CP.

3解法思考

本题的一题多解，从不同的角度、沿着不同的方向寻找问题的解法.在这7种解法中，运用了初中几何许多知识和方法（例如：“三线合一”，全等三角形的判定，多边形的内、外角和，相似三角形，圆周角等），它对基本解题方法技巧的掌握，知识间联系的建立，思路的开拓，思维发散性、广阔性、灵活性的培养，数学素养的提升都颇为有益基于此，抓住基本性质、关注基本图形、积累经验图形或许是习题教学的一种导向.

3.1抓住基本性质，理解数学本质

与图形相关的点、线段、角等关系的证明实质是基本的多边形一三角形及特殊三角形的判定与性质的再现本题可以考查很多图形的基础知识，进行一题多解的教学，有利于开发学生智力，触类旁通，掌握基础知识，理解数学本质，提高解题能力，收到事半功倍的效果.

3.2关注基本图形，探究解题规律

基本图形往往是解决几何问题的突破口.在复杂图形中发现基本图形，特别是发现这些图形所拥有的共同要素，并进一步得到相应的位置关系和数量关系，进行思维分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”，是探索几何问题常用的基本方法，

3.3积累活动经验，感悟数学思想

对一些典型几何图形进行挖掘，探索图形各元素之间的关系及图形各要素之间的联系，探寻“一题多解”的多种策略，帮助学生进行总结与反思，有助于加深学生对几何知识的理解，提高学生研究几何图形的数学素养.

参考文献：

[1]许洪梅，惠井华.一题多解对学生创造性思维能力的培养[J].中学数学教学参考，2003（11）：35—36.

[2]齐欣.明确转化方向，探求一题多解——一道中考题的多种解法探究及思考[J].数学教学，2017（11）：36—38+50.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.