数学排列组合问题思维方法探究

刘文冲 马琦琳 韩程远

摘 要：在处理数学问题的过程中，采用正确的方法会起到事半功倍的效果。排列组合的思维方法是指在遇到数学问题时要将其拆分成不同的模块，然后将不同的小模块进行重新组合，就产生了一个全新的问题。如此处理问题不仅能在根本上认识问题，还能激发学生对数学的学习兴趣，让学生认真学，乐意学。

关键词：数学教学;数学问题;思维方法;排列组合

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2019）12-0074-01

数学思维是用数学思考和解决问题的思维活动。一个良好的思维习惯是处理数学问题最有效的工具，在学习过程中，学生要把客观问题所含的基本规律抽象出来，在大脑中形成一个自己的认识，并产生自己的看法，从而灵活掌握。本文提出的排列组合的方法是学生在处理数学问题时举一反三的重要工具。

一、排列组合思维方法

其一，排列组合思维方法的益处。良好的思维方式有助于对数学问题的认识和对基本知识的梳理，能促使学生从本质上看待问题。排列组合的思维方法将问题中所涉及的基本知识抽象出来，将一个大的问题分成了不同的小模块，即简单的知识点，再将小模块进行重新排列组合形成全新的问题。如此处理数学问题不仅能使学生充分理解知识，还能培养学生从出题者的角度看待问题，提高学生自学的能力。此外，还能激发学生的学习兴趣，使学生能更透彻地看待问题。其二，排列组合思维方法的应用。学生在应用排列组合思维方法时要注意平时的积累和观察，积累每一道题，将每一道题划分模块，然后将运用到相同知识点的题放在一起比对，充分了解每一个模块的运用方法。知识的运用变化莫测，学会排列组合思维方法，运用能力才能提升。

二、排列组合思维方法举例

问题1：设f（x）在[-a，a]（a>0）上具有连续的二阶导数，且 limn→0■=0 。证明存在M>0使得f（x）≤Mx■，？坌x∈[-a，a]。解题思路，本题先用泰勒公式写出f（x）的x2的形式，即■x■，再利用不等式 ■≤M得出答案。本题中涉及的知识点有：泰勒定理、导数定义、连续条件的含义。

问题2：设■lnn（n+1）■（n+2）■ ，问a，b取何值时该级数收敛。解题思路：该题利用lnab的计算公式将原式展开成（1+a+b）lnn+aln（1+■）+bln（1+■）的形式，再利用泰勒公式计算出结果。本题中涉及的知识点有：泰勒公式和级数。两问题中泰勒公式和不同的模块组合，即不同的运用形式和不同的排列组合形式。

问题3：求级数■■+■的和。解题思路：首先构造函数f（x）=■■x2k+1，求出f（x）=■-1，再进一步积分求出f（x），下一步将特殊值1带入f（x），得出左半部分的值，而■=■=1，结果显而易见。这道题运用常规的级数解题思路显然是行不通的，可用构造函数的方法解决级数的问题。函数构造的技巧性是非常强的，学生要有着比较灵敏的感觉，要第一眼就意识到级数的左半部分可以进行函数构造，以此来简化问题。本题中涉及的知识点有：构造函数、级数。

问题4：设f（x）在[-1，1]上有二阶导数，且f（-1）=f（1）=■，f（x）≤■ 。证明f（x）≤■ ，x∈[-1，1]和 f（x）= x在[-1，1]上有且只有一个实根。第一问解题思路：利用泰勒公式分别写出f（-1）、f（1）的表达式，之后两式做差，利用所得关系试构造不等式，最后得出max-1≤x≤1■=■，因此，f（x）≤■， x ∈[-1，1]。第一问涉及的知识点是泰勒公式和不等式的运用。不等式的运用和构造函数一样，同样具有较高的灵活性。学生平时要加强经验积累，见到什么样的类型，就在脑海中及时反映出做过的类似的题型，并及时加以比较，做好总结。谈到不等式，要熟记几个均值不等式的形式，熟记条件，并加以灵活运用。第二问解题思路：构造函数，令F（x）= f（x）-x，x∈[-1，1]，则F（-1）= f（-1）+1=■，F（1）=f（1）-1=-1/2 ，但F（x）在[-1，1]上連续，由介值定理可知，F（x）在[-1，1]上至少有一个零点，又由第一问可知，F（x）=f（x）-1<0，所以F（x）在[-1，1]上严格单调，从而至多有一个零点，这样F（x）在[-1，1]上有且只有一个零点，即f（x）=x在[-1，1]上有且只有一个实根。第二问涉及的知识点有：构造函数、介值定理和函数的单调性。介值定理在极限中同样应用广泛，是考查的重点。第一问主要用到了泰勒公式，是泰勒公式和不同知识点的联合运用。第二问核心思路是构造函数，第一问中同样涉及了一些构造的知识，和第三题做比较，是构造函数和不同知识点的联合运用。

三、结语

总之，运用排列组合思维方式有助于学生理顺题目中涉及的知识，形成一个知识框架，激发学生探索数学奥妙的兴趣。因此，教师应重视排列组合思维方式的渗透，提高学生有效解决数学问题的能力，培养学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]杨梅.数学排列组合问题中的易错点探研[J].成才之路，2018（08）.

[2]章幸辛.数学教学实践中数学思维的认识及培养[D].江西师范大学，2003.