数学思维的“道”与“术”：改变思考策略，促进思维转化， 让数学思维不止是“术”，更是“道”

赵金洁

摘 要：数学教学不仅仅是“术”的教育，更是“道”，即数学思维、数学逻辑的培养。就如何培养及引导学生的数学思维及逻辑，提升数学学习效率以及农村小学较大差异化的环境下进行思考题的教学进行具体分析。

关键词：农村小学；数学化思维逻辑；数形结合

一、缘起

在博大精深的中国文化中，“道”与“术”的概念深深影响着一代又一代的中国人。老子曾说：“有道无术，术尚可求也。有术无道，止于术。”庄子曾说：“以道驭术，术必成。离道之术，术必衰。”《孙子兵法》说，道为术之灵，术为道之体；以道统术，以术得道。[1]数学，不仅仅只是简单的算术，更是思维逻辑的培养。

在具体的教学中观察到：人教版数学二年级上册数学“广角简单的排列和组合”的教学中，对于3个数字可以组成6个两位数，而三个人只能握3次手的现象，在教学过程中学生出现两种截然不同的情况：部分学生的第一反应是3个人也会出现6次握手，而且其中有很多学生对此深信不疑；而也有部分学生很快就能得出正确的结论，并对此有良好的理解。目的是考查学生实际的理解程度，鼓励其大胆发言，阐述自己的思路。然而回馈效果不甚理想。直到让学生进行实际操作时，他们才发现确实是握3次手。而当把题目场景改成打电话时，依然有部分学生不理解，只有再次通过实际操作活动演示后才得以理解。因现场教学中出现这样的情况，即增加了一道练习：10个人打乒乓球，每两个人打一场，需要打几场？通过前两次的教学以及练习，学生慢慢掌握了解题的关键以及技巧。

出现这样的情境，引起我对思考题教学问题的思考。新教材取消了独立的应用题教学单元，而是放在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”及“综合与实践”四大领域的相关模块中，这样的教学虽然可以清晰传授每个知识点，但容易造成系统训练的缺乏，不利于模型思想的形成。

其次思考题的教学在新授知识之后，它的存在与否并不影响单元教学的完整性。这会使部分教师选择将少数看似不重要的内容删除，从单独知识点来说并不影响过多，而最后落实到学习方式上容易“就题论题”，学生对于解决问题的策略以及蕴含的数学思想难以领悟，其隐性价值也就无法实现。

对于解决问題的教学，最重要的是数学化，即通过教师讲解的数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，学会用数学的眼光看待事物，学会用数学的方法解决问题。[2]

任何一个有效教学必定要促进学生当下发展，同时要具有超越时空的穿透力，对学生长远发展产生影响。因此，小学数学更应该重视数学思想方法、数学活动经验等数学素养的培养，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。对于解决问题的教学，我有以下几点思考。

二、改变思考策略，促进思维转化

（一）直观演示，在活动中呈现，让思维从障碍走向疏通

学生的认知能力的唤醒、思维能力的激活、知识技能的获得、情感态度的提升、数感的发展都离不开足够的资料，包括物质资料和文字资料等的支持。对于思考题的教学，学生只有“见多”才能“识广”，从而促进思维的有效转化。通过演示及练习，在实践中领悟，即从量变到质变，从术到道的领悟。

【片段一】角的认识

在《角》的教学中，“角的大小与什么有关”这一内容教科书中并未明确指出，而在练习中会有出现。因此需要教师增加一个活动“做角”，引导学生玩“角变大变小”的游戏，引导学生一边玩活动角一边观察：角的大小有什么变化？角的大小与什么有关，与什么无关？

“做角”这一活动使学生对角的认识由静态向动态过渡，使得他们直观地看到，两条边张开的越大，角就越大，张开的越小，角就越小。设计游戏活动，学生一扫前面长时间上课的疲累，开始兴致勃勃尝试动起来。即使不能概括出最终的知识点，当别的学生在老师的引领下得出结论时也能马上获得经验。学生在玩中学，通过感知（感知角的大小变动）—表象（发现边长不变的情况下角的大小在变化）—抽象（抽象出角的大小和张开的大小有关）—形成结论（角的大小和边长无关，和两边张开的大小有关），在实践活动中深刻建立了角的表象。

小学生的思维尤其是低段的孩子其思维发展主要是以具体形象思维为主。而活动可以让学生“动”起来，从而让学生的思维“活”起来。苏霍姆林斯基也曾说：“儿童的智慧在他的手指尖上。”[3]通过活动学生本已乏累的脑袋得到了新鲜的血液，开始调节放松，何乐而不为？活动的价值也得以体现，学生经历了、体验了、收获了知识，给解题带来了新的思路。在此类题目的教学中，教师要从学生的角度出发，不要害怕活动浪费时间，或者害怕活动破坏课堂纪律，而是让学生积极参与到课堂教学中，大大提高了学习的效率，避免后期不必要的重复练习，这在一定程度上也为课堂教学节约了大量的时间。

（二）数形结合，问题解决媒介化，让思维从模糊走向清晰

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“符号感”改为“符号意识”，是新课标提出的十大核心概念之一。现行的小学数学教材也十分注意符号化思想的渗透，即使对一年级的学生也不例外，可以看到很多的数字符号、运算符号、图形符号等。如教材中就有“□”或“（）”代替变量“x”，让学生填适当的数，或者在天平秤上摆上物体显示重量，然后用另一物体替代。随着年级的上升，各种量的关系变化都是用字母表示，传递出大量的信息，把复杂的语言表述简单化，以便于记忆和利用。除了有利于表述外，数学符号还有助于思维的发展。都说数学学习是思维的体操。

数学大师华罗庚教授说过：“……数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”如“和倍问题”“和差问题”等。

【片段二】和倍问题

思考题：一个减法算式里的被减数、减数与差相加，得数是1000，已知减数是差的4倍，差是多少？

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当学生初次阅读本题，很多学生找不到突破口，更有甚者完全无法理解题意。此类题型，数形结合，以图形符号为媒介发现规律。此题初读时虽知道减数与差的4倍关系，却找不到其他关系。在渗透本题时，笔者在教学时适当放慢脚步，让学生将分析题意与画示意图相结合，引导学生思考“1000”在本题中的作用，重复读题以及画出线段图后，它们之间的内在联系一目了然。通过线段图掌握了它们的数量关系，随之差和减数各是多少呼之欲出。这种解决思考题教学的新思路值得我们继续实践和探索。如“植树问题”“上楼问题”就可以借助线段图帮助学生理解，从而让数学思维不止是“术”，更是“道”。

（三）丰富题型，举一反三，让思维从肤浅走向深刻

在讲解一类题型时，教师可根据现实教学需要，培养学生的联想创造能力，进行题目的改编。正如爱因斯坦所说：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”让学生根据原题中的数量关系进行改编，类似于我们的同课异构。通过类比，举一反三，帮助学生分析理解，抓住学习数学思想这一本质。

【片段三】

练习：六一节表演节目，每两个男生中间站一个女生，一共有8个男生，可以站几个女生？

在练习时仅仅讲解此题，学生的思维容易受到限制，仅仅停留于实物与图形。教师在讲解时可以适当增添该类练习。如：（1）如果把一根木头据成10段，需要据几次？20段需要据几次？（2）小丁去楼下运水，从一楼运到九楼，一共运了几层？（3）一串珠子按照一黑一白的顺序排列，白色珠子有10颗，黑色珠子有几颗？

借助课堂丰富各类题型，通过一类问题实现有效的建构，如借助“排队问题”引出“上楼问题”“锯木头问题”“串珠子问题”等，发现“间隔数和点数之间的关系”的规律，最终实现知识的建构，让学生的思维从肤浅走向深刻。

（四）建模型，思想方法一体化，让思维从具体走向抽象

“模型思想”也是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十个核心词之一。从广义的角度来说，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。[4]

小学数学教材的编写有两条线索：一是处于表面的知识；二是隐含于知识背后的思想方法。教师只有创造性地使用教材，变“教教材”为“用教材”，做到源于教材却高于教材，这样才能体会知识深处的数学思想方法。

“植树问题”“上楼问题”都可以划归为“间隔数和点数的关系”问题。虽然在教学中，我们不能马上用抽象的字眼——化归来归纳，但是大部分学生通过亲身经历、体验、感悟解题过程，基本上已经学会用自己的语言进行描述，在头脑中留下了深刻的印象。随着学习的过程，当再次遇到类似的问题时，他们沉睡的思维记忆就会被重新激活，就会抓住解题的关键，学生的数感也会得到一定的提升。因此，教师在遇到此类教学问题时千万不能走过场，就题论题，应当下意识地抓住典型材料，把各个知识点连成线、线成面、面成体，逐步将知识结构立体化。在解题过程中，有意识地渗透数学思想方法，如化归思想、建模思想、函数思想、极限思想、集合思想、优化思想、统计思想、分类思想等。

三、结论

教师在教学时切忌就题论题式地教学，要把对数学之“道”的培养融合在“术”的教学中。当学生出现理解困难时，针对不同的教学题型应该采取不同的教学策略，活动题型可以让学生亲身体验其产生的过程，让学生感悟及记住这一经历，并以此將真正的思维逻辑印刻在脑中，真正变为己用。用数形结合理解数量关系的题型，教师可通过画图帮助学生理解，让模糊的思维清晰化，并且举一反三，拓宽学生的思维，架构题型之间的内在联系，最终建模。

但要注意的是“道”的形成是一个长期的过程，需要教师在教学的过程中不断地关注，有意识地去渗透，因人制宜地开展教学。尤其是笔者这样的较发达地区的农村小学，学生两极差异化明显，如何在差异化中追求教育的平衡与发展，这值得我们一直不断地探究。但通过这样系统化的练习，想必学生会逐步形成自己的数学思想和方法，学会具体问题具体分析，学会用数学的眼光看待问题，用数学的方法解决问题，最终达到数学化。

参考文献：

[1]孙武.孙子兵法[M].四川文艺出版社，2008.

[2]郑文庆.思考题教学问题与解决策略[J].小学数学名师说课，2017.

[3]潘晓玲.小学数学思考题解决方法初探[J].课堂内外，2016.

[4]武国芬.经历问题解决的过程，深入理解概念的本质[J].小学数学名师说课，2017.

编辑 高 琼