整合数学：让儿童畅饮数学的源头活水

汤卫红

【摘 要】“整合数学”旨在进一步体现数学的内在统一性，打通数学与现实世界的联系，探索多学科的融合。倡导通过生活世界与数学世界的融通与互化、数学教材中单元内容的整体优化、数学与科学基于核心概念、工具与方法的有机整合、超越数学的综合实践应用等途径，让儿童畅饮数学的源头活水，以促进其核心素养的整体发展。

【关键词】整合数学;统一;联系;融合;核心素养

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2019）17-0046-04

教师首先是教育者，其次才是学科教师。作为数学教师，我们当然要教人学数学，但更要以数学育人，跳出数学看学生和学习。教育部《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》中指出：“进一步提升数学、科学、技术等课程的育人价值。同时加强学科间的相互配合，发挥综合育人功能，不断提高学生综合运用知识解决实际问题的能力。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也指出：“要通过义务教育阶段的数学学习，使学生体会到数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系。”学校在确保国家基础课程实施质量的同时，注重学科内、学科间及超学科的整合，既是落实国家立德树人根本任务、执行课程标准的需要，也是实现课程整体育人价值的必然路径。

一、“整合数学”的内涵和价值

“整合数学”是基于课程整体育人，通过统整、重组、优化、开发、融合适合学生的课程资源，以探究数量关系和空间形式为核心，以问题解决为载体，以渗透、融合、消弭等为整合方式，构建具有整体性、序列性、系统性、关联性的课程群，以提升学生的思维能力、创新意识、实践能力等核心素养为最终追求的课程实践模式。“整合数学”的提出，并不意味着要“去学科化”，也不是要用整体性思维去完全取代学科性思维，而是要让我们更加清楚地认识和处理好整体教育与学科教育之间的辩证关系。数学要发挥育人价值，并不意味着只突出强调教育的视角，而忽视从学科分类的角度去更为深入地分析思考。恰恰相反，当我们从整体、系统的角度来考察数学教育时，更应该思考并实现数学对落实整体性教育目标的独特价值。

1.“整合”是为了更好地体现数学的内在统一性。就数学本身而言，尽管存在着多个不同的分支，而且随着研究的深入，这种多元化的趋势表现出不断加强的迹象，但正如法国数学家让·迪多内在《论数学的进展》一文中认为的那样：“数学中始终存在着强大的统一的趋势。”我们不应简单地对数学不同分支上的内容进行形式上的组合，而應对小学数学的相关内容进行深入的分析、研究和适当的抽象，揭示相关对象事实上具有共同的本质。

2.“整合”是为了更好地打通数学与现实世界的联系。联系的观点在数学领域有着特殊的重要性。而事实上，数学教育在加强与外部联系方面仍然有很长的路要走。“整合数学”既强调生活经验的合理引入，又重视前数学生活的合理建构;既强调突出内部多元表征方法的内在统一，又强调模型的应用、延伸和拓展，以期让经验的世界、数学的世界、现实的世界之间形成贯通的联系。

3.“整合”是为了更好地探索数学与科学、技术、工程等的关联与融合。“整合数学”在强调全面落实国家基础课程的同时，积极地拓展开去，探索与实施具有整合性的课程形态，将科学、技术、工程、人文等有目的、有方法地融合起来，利用学科知识来支持相关联的学习经验，在不同领域运用其他领域的知识与技能实现融会贯通。如此，数学就有了更丰富的背景和资源，也有利于它在更广阔的天地发挥作用。同时，其他学科的一体化融入，更有利于学生用普遍联系的思维方式认识、理解现实世界，也更能用多元的、贯通的视角解释、解决现实世界中的问题。

二、“整合数学”的实施路径

实施“整合数学”，一方面，要回到数学学习应有的联系的、变化的、融通的样态;另一方面，要拓展、应用、深化多元背景下多种课程形态的关联式学习，这也正符合动态的、辩证的、模式论的数学观。

1.生活世界与数学世界的融通与互化。

要实现“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，首先要将数学根植于儿童的生活经验，并使其成为儿童经验生长的基础。当然，这种生长应当在教师的引导下实现“数学化”生长。对儿童来说，数学之于生活才有活力，数学之于经验才有生长力。把生活融入儿童的数学世界是“整合数学”要夯实的基础路径。

以北师大版四上“路程、时间与速度”的教学为例，笔者首先呈现班上两位学生真实的上学时间和路程的数据和地图路线，让学生体会路程与距离的区别，并引导他们提问：谁走得更快？接着由生活视角转向数学视角：怎样理解谁走得更快？从而得出速度需要用两种量关联刻画的本质属性。然后通过线段图的抽象在数学化的道路上迈进，自然引出v=s÷t的基本模型。通过比较刘翔跨栏速度和蜗牛爬行速度，了解速度、时间、路程之间的数量关系。接着，通过比较不同年份火车的运行速度体会社会的发展。然后，以公路上如何测定汽车是否超速、为什么“电闪雷鸣”是先看到闪电后听到雷声等问题的讨论贯通生活问题、科学问题，让学生对速度有更为清晰的认识。课末，则把“速度×时间=路程”这样的基本数量关系与“单价×数量=总价”“每天修路米数×天数=总米数”等概括起来，生成一种乘法模型：每份数×份数=总数。这也是“整合数学”突出学科本质、体现数学内在统一性的价值所在。

2.数学教材中单元内容的整体优化。

“整合数学”强调要突破数学教材中单元线性推进的教学思路，主张整体设计，板块式、结构化推进，从而让学生先概知全貌再逐步深化，关联式探究。例如：教学北师大版二上“测量”单元，我们主张在测量中学习测量，用真实的实践活动贯穿单元学习，让测量因需要而生，让度量单位因测量需要而被“创造”。引导学生在积累活动经验的过程中完成长度单位“厘米”“米”的构建，理解标准参照物，会根据需要选择适切的单位。本单元的实施流程如图1所示。

3.数学与科学基于核心概念、工具与方法等的有机整合。

很多版本的小学数学教材与科学教材都有交集。科学为数学提供了极有价值的背景材料、问题情境、研究素材等，数学又为科学提供了语言和工具。但两者在分科教学中有时会存在不同步的情形，导致科学教师要提前教学数学相关知识和方法，数学教师要提前安排相关科学观察、实验或补充相关科学知识和背景材料。教师应不断寻找数学与科学育人的契合点，使之发挥“1+1>2”的效应。

教科版五下科学教材设有“生物与环境”这一单元，旨在让学生建立食物链、食物网、生态系统等概念，并讨论如何维护生态平衡，增强保护地球环境意识。而在北师大版五下数学教材中，有关于动物种群动态变化的折线统计图的观察和思考，旨在让学生体会数据描述与分析对科学研究的价值。显然，这两者的一體化设计对学生来说更具价值性、周期性、挑战性和融合性。我们将两个单元同步教学，并把两个学科的最后一节内容融合，开发出以“山猫（捕食者）—雪足兔（被捕食者）”问题为主题的数科整合课，将科学的生物捕食问题与数学的统计领域结合起来，引导学生用统计表记录生物种群的数量，用复式折线统计图描述生物种群的数量变化等，并通过观察、分析、比较等获得种群变化的科学规律。

4.超越数学的综合实践应用。

超越一般意义上的综合实践活动课程，我们以数学为整合的核心，从数学学科内容、学生自身生活和社会实际出发，以“主题”为引领，以小课题研究为载体，以研究性实践与创造为主要方式，以培养学生的应用意识、实践能力和创新精神为目标，开发了“3C”（即Care关心、关爱、关注，Connection联系、连接，Creation创造、创新）课程，以期激发学生关注生活、关注社会的心向，从而让他们从现实世界主动发现值得研究的问题，并将其上升为小课题，然后引导学生将数学、科学、技术、工程等方面的知识与问题建立联系，进行课题研究，形成自己独具创造性的问题解决方案。

例如：2017年是苏轼诞辰980周年，我们把学校年度研究课程主题确定为“逆境中的坚持”。在学生大量阅读、积累、考察的基础上，学生生发出很多有价值的研究课题，如“大数据帮你进一步认识苏轼”“苏轼所用词牌名及词受喜爱程度调查研究”“苏轼被贬路线研究”“苏轼的朋友圈”“苏轼的心情曲线”“苏轼亲民十大证据”“苏轼为全国哪些景点代言”“苏堤考察研究报告”……学生的学习也从文本世界走向实践世界的真实场域。我们通过开启课、方案课、实践课、答辩课，让学生完整地经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，并通过与专家建立联系，引导学生持续、深入地完成研究。在研究中，学生不断学习人文与艺术、统计与科学、工程与技术方面的知识，并不断解决问题，同时，感受到苏轼的丰富与伟大及其爱生活、爱人民、爱祖国的豁达、智慧与担当，汲取了生活的智慧、面对困难的勇气和坚持理想的执着。

通过调查，我们发现，自2011年“整合数学”课程实施以来，我校学生的数学观、数学学习观良好而积极，核心素养获得感普遍提高;学生在课堂上彰显出“活泼但理智，个性但认同，聪明但不偏颇”的样态;在区域学习水平质量监测中表现优异，且稳步前进，体现出“整合数学”课程给学生带来的素养的整体显著高水平。