一种电缆组件复杂度的数学建模及评估方法

赵冰欣 崔波 刘奕宏 杨祎 王赫余

(北京空间飞行器总体设计部,北京 100094)

航天器电缆网负责整器各设备之间的能量和信号的传递。电缆网是由多个电缆组件组成,其中存在较多相对复杂的电缆组件(简称复杂电缆组件)。复杂电缆组件是多始端对应多终端(简称“多对多”)的电缆组件。复杂电缆组件在设计、生产、检验、安装敷设及拆卸维修等环节存在难度,会导致的问题有:①接口较多,设计和生产过程中很容易出错;②检验测试繁琐,需要频繁更换地面接口以满足要求;③分支设计极易成环,长度难以保证,敷设难度大;④更改、拆卸电缆难度大;⑤上百个分支的复杂电缆组件一般采用模板电缆的方式生产,即在生产过程制作1∶1的木模星,在木模上进行生产、绑扎、长度及敷设验证,人力、物力和财力的成本非常高。基于以上问题,航天器电缆网需要识别出真正影响工程实践的复杂电缆组件,对电缆组件的复杂程度进行判定并对其进行优化,目前还没有对电缆组件的复杂度的描述方法,无法从复杂度的角度评估电缆组件设计方案的优劣。因此提出一种电缆组件复杂度的数学建模和评估方法是十分有意义的。

在航空航天、汽车制造和船舶等行业中,电缆网也是系统的重要组成部分,直接影响系统的可靠性和安全性。随着系统的高密度、轻量化的发展趋势,复杂电缆组件所带来的问题也日益突出。复杂电缆组件在设计、布线、安装以及维修等方面都有一定的难度。文献[1]提出一种导航式电缆网快速设计方法,能够提高复杂电缆组件的设计效能;文献[2]基于美国Mentor公司开发的CHS软件平台,实现了电缆组件进行数据库化管理,缩短设计周期,但均无法解决复杂电缆组件在布线、生产、安装等环节的困难。在针对多分支的虚拟装配仿真方面也有一定的研究,多分支电缆使得路径规划、空间复杂位姿等问题变得复杂化。文献[3]提出一种多分支弹簧质点模型,用于多分支柔性电缆的干涉检验分析;文献[4]建立了多分支线缆的静力学模型,用于分析多分支线缆空间的复杂位姿,但对动力学模型建立的研究不足,通过研究解决了复杂电缆组件的有效静态建模和仿真分析,但复杂电缆组件所带来的拆装维修等仍是需要解决的难题。以上研究均是针对复杂电缆组件所带来的问题,而对于设计过程中如何减少复杂电缆组件或降低电缆组件复杂程度方面,一般就是通过定性的方式,如手动画图去分析某一个电缆组件是否须调整和拆分。在国内外的研究中尚未找到关于电缆组件复杂度的研究。

基于以上问题,航天器电缆网产品亟需一种复杂程度的评估方法。本文提出电缆组件复杂度的概念,利用无向图对电缆组件连接关系进行数学描述[5];结合航天器电缆网产品特点,分析影响实际设计、生产及应用方面的因素,建立电缆组件复杂度的数学模型;引入Floyd算法计算结点间总距离,并结合结点数和边数综合衡量复杂度,得到电缆组件复杂度的计算方法。该方法可以快速识别出相对复杂的电缆组件,能够有效控制电缆网中电缆组件的复杂程度。

1 电缆组件的数学描述

电缆组件由电连接器和导线束组成。将电缆组件看成为点和边的关系,电连接器为结点,分支关系为边。图1是几种常见的电缆组件连接关系,其中(a)～(d)的电缆组件结点数为5,(e)～(f)的电缆组件结点数为4。根据电缆组件分支情况,可分为以下几种形式:单始端对单终端(即“一对一”),单始端对多终端(即“一对多”),多始端对多终端(即“多对多”)。将点的集合和点之间连接关系的集合组成的数据结构,称为电缆组件连接图,用W(P,Q)来表示。点的集合用P(W)表示,集合中的元素称为点。点之间连接关系的集合用Q(W)表示,集合中的元素称为边。表1为电缆组件W001的连接关系,如图1(a)所示,表示为W(P,Q),点的集合P(W)＝{A,B,C,D,E},点之间连接关系的集合Q(W)＝{(A,B),(A,D),(A,E),(C,B),(C,D),(C,E)}。

图1 电缆组件连接关系图Fig.1 Cable connection diagram

表1 W001电缆组件连接关系Table 1 W001 cable connection

电缆组件的连接关系没有方向性,均为无向图。本文对于电缆组件连接图的边的权值均设置为1,即具有连接关系的两个结点之间的关系为边,距离定义为1。后续研究可根据导线根数、成本等对权值进行不同设定。如图1(a)中A与B具有直接的连接关系,A与B之间最小距离为1。没有直接连接关系的两个结点之间距离,需要通过其他结点间接连接,如A与C之间没有直接的连接关系,A与C的连接关系中最短距离是通过B或D或E,即通过两条边,那么A与C之间的最小距离为2。

电缆组件连接图可以采用邻接矩阵存储方法进行记录,包括一个记录各个顶点信息的顶点数组和一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。设无向图W(P,Q)的顶点数为n,P＝{p1,p2,…,p n},则图的邻接矩阵是一个n×n的二维数组,用F[n][n]表示为

如W001电缆组件连接图,顶点n为5个,顶点数组为[A,B,C,D,E],邻接矩阵如式(2)所示。无向图的邻接矩阵是沿主对角线对称的。

2 电缆组件复杂度的定义

本文给出的电缆组件绝对复杂度和相对复杂度的概念分别由式(3)和式(4)定义。

一个电缆组件所包含的电连接器数量越多,分支关系越多,表示越复杂,即点和边的数量表征了电缆组件的复杂程度。由此可以定义电缆组件的绝对复杂度,见式(3),间接表征电缆组件的复杂程度。

式中:Ca为绝对复杂度,N为结点数,S为边数。

但是绝对复杂度不能真实的反映电缆组件的复杂程度,对于相同结点数和边数的电缆组件,存在多种电缆组件连接关系,如4个结点3条边的连接关系有W005、W006,5个结点4条边的连接关系有W002、W003、W004。绝对复杂度无法考量电缆组件连接关系对电缆组件复杂度的影响,如W004电缆组件的绝对复杂度大于 W005电缆组件,但W004在实际过程中更易敷设和插接,仅从电连接器和分支数量上来看,无法正确评估复杂度,还需要考虑分支的连接关系。

根据图1中电缆组件连接图情况,可分为链条型(如 W003、W005)、星型(如 W004、W006),复杂电缆组件一般是链条型和星型的组合。根据实际应用情况,认为电缆组件连接的复杂度为星型小于链条型。所以除了结点数和边数,平均结点间距离同样会影响电缆组件的复杂程度。平均结点间距离是指所有结点两两之间最小边数之和除以结点组合数,体现由于分支耦合带来的距离增长,电缆组件如果没有耦合应该都是“一对一”或“一对多”的分支形式。由此可以定义电缆组件的相对复杂度,见式(4)。

式中:Cr为相对复杂度,N为结点数,S为边数,L为结点间距离之和,K1、K2为权重系数,本文中设置为1,后续研究中可根据对电缆组件的不同要求进行权重系数的设定)。

3 电缆组件绝对复杂度和相对复杂度的计算方法

3.1 简单电缆组件绝对复杂度和相对复杂度计算示例

图1中电缆组件的结点数均不大于5个,计算量较小。根据绝对复杂度和相对复杂度的定义,对图1中电缆组件进行复杂度的计算,表2给出了两个电缆组件W001和W002的结点间距离之和计算示例,W001～W006的复杂度计算结果见表3。

表2 结点间距离计算(N＝5)Table 2 Distance between modes(N＝5)

表3 电缆组件的复杂度计算结果Table 3 Cable complexity calculation results

续 表

由W001～W006电缆组件复杂度的计算结果可以看出,绝对复杂度和相对复杂度均可以表征电缆组件的复杂程度,但相对复杂度可以较为准确的描述电缆组件连接的复杂程度。

3.2 复杂电缆组件绝对复杂度和相对复杂度计算方法

结点数大或连接关系复杂的电缆组件的复杂度计算量较大。计算复杂电缆组件或电缆网的复杂度,主要步骤如下:①对电缆组件进行数据记录,通过无向图邻接矩阵储存方法将电缆组件连接关系转换为数据;②对已知无向图求解结点数N、边数S及结点间距离之和L;③根据第2章绝对复杂度和相对复杂度的定义,求解Ca和Cr。

计算相对复杂度的关键在于求解结点间距离,即找出两两顶点之间的最短路径并计算出最短路径长度,属于全局最短路径问题,本文采用Floyd算法进行求解[6-10]。Floyd算法的基本思想是:对于一个顶点个数为n的无向网,设置一个n×n的方阵A(k),其中除对角线的矩阵元素都等于0外,其他元素A(k)[i][j](i≠j)表示从顶点到顶点的路径长度,k表示运算步骤,k＝0,1,…,n。初始时,A(0)＝F,即初始时,以任意两个顶点之间的直接边的权值作为最短路径长度。逐步尝试在原路径中加入其他顶点作为中间顶点,如果增加中间顶点后,等到的路径比原来的最短路径长度减少了,则以此新路径代替原路径,修改矩阵元素,更新为更短的路径长度。

Floyd算法的递推公式为

反复迭代后得到的A(n),将其中的A(n)[i][j](i＜j,i＝1,2,…,n,j＝1,2,…,n)相加即得到电缆组件结点间最小距离之和L。

4 电缆组件复杂度的评估方法应用及优化

4.1 电缆组件复杂度的评估方法应用

通过上述章节对电缆组件复杂度的数学描述和计算方法的研究,可以对电缆组件的复杂程度进行定量的评估。以某航天器整器电缆网为例,电缆组件共计314个,对每一个电缆组件的复杂度进行计算,绝对复杂度和相对复杂度值对应的电缆组件数量统计结果见图2、图3。通过式(3)和式(4)计算,实现了以定量数据表示出电缆组件的复杂程度,快速的识别出复杂电缆组件,同时对整套电缆网设计的复杂情况有更为直观而准确的认知,从而可以对不同方案的电缆组件设计进行评估。

图2 绝对复杂度的计算统计结果Fig.2 Absolute complexity calculation results

图3 相对复杂度的计算统计结果Fig.3 Relative complexity calculation results

通过图2和图3计算结果得知,电缆号W405A的绝对复杂度最高,值为64,而其相对复杂度为4.68,分支数为39;电缆号 W060的相对复杂度最高,值为5.17,而其绝对复杂度为58,分支数为30。由此可得出,分支数越多,或绝对复杂度越高,相对复杂度不一定越高,还取决于电缆组件结构,相对复杂度越高的电缆组件才是实际情况下越复杂的电缆组件,这也说明了电缆组件复杂度评估的必要性。

4.2 电缆组件复杂度的优化

复杂电缆组件在敷设、安装、维修等方面均存在较大难度,所以减少复杂电缆组件的数量、降低相对复杂度的数值是电缆组件优化的目标。通过计算复杂度,识别出的复杂电缆组件后,可以通过打断、重新分配、更改设备接口等方式去实现优化。例如相对复杂度最高的W060电缆组件,其电缆组件连接如图4所示。可以设置不同的过渡打断点,进行电缆网复杂度的优化设计。

假设整器仅允许多增加一个过渡打断点,设计两种打断方案如下。

方案一,通过过渡打断点1,即S202-X10与N202b-X04、S101-X45与S202-X92一并打断,W060拆分成两个电缆组件W060A1和W060B1;

方案二,通过过渡打断点2,N202a-X04与S201-X12打断、S202-X92与S201-X12一并打断,W060拆分成两个电缆组件W060A2和W060B2。

图4 复杂电缆组件W060的连接图Fig.4 Connection diagram of complex cable W060

重新计算两个方案的复杂度情况见表4,可以明显看到,方案一的电缆组件相对复杂度小于方案二,方案一优于方案二。

表4 两个打断方案的复杂度计算结果Table 4 Complexity calculation results of two interrupting plan

5 结束语

本文提出的电缆组件绝对复杂度和相对复杂度的概念和计算方法,可以解决以下问题:①给出了衡量电缆组件复杂程度的定量指标;②提供了电缆组件设计方案的优劣的判断依据,复杂度相对较低的方案更优;③快速识别出电缆网中复杂度较高的电缆组件;④对整器电缆网的电缆组件给出复杂度的量化评估,对于复杂度较高的电缆组件,可以从设计、加工、敷设等方面对其进行分析和优化,有效控制其复杂程度。电缆组件复杂度的提出为后续电缆组件的优化和方案评估奠定了理论基础。