坐标系在初中数学中的应用研究

钱敏

【摘 要】坐标系中蕴含着相当丰富的数学文化，涉及到坐标系在历史发展中所传达的数学观点、方法与思想。在初中数学知识体系中，坐标系与其它数学知识有着非常密切的联系，将知识置于坐标系中进行探索与研究，将会显得更加直观、形象和具体，有助于学生的理解和掌握，实现全面发展。

【关键词】坐标系；初中数学；学生

坐标系可分为直线坐标系和平面直角坐标系两种，在初中数学中有着重要地位。教师可以以坐标系为核心构建思维导图，这样既能够使学生全面掌握相应的数学知识，还可以提高他们的数学思维能力。而且在信息化教学环境下应用坐标系，教师可以借此丰富教学内容，引导学生直观观察到坐标系中图形的动态变化，帮助他们快速掌握所学知识，灵活地解决生活中的实际问题，促进学生对所学知识的理解，拓展学生的思维，构建高效的初中数学课堂。

一、利用坐标系，解决数轴问题

数轴属于有理数这一章节的重要知识点，把抽象的实数和具体的数在数轴上相应的点整合在一起，应用数轴直观的表示数，计算关于有理数的数学问题，有利于学生更好地理解相关概念。因此，初中数学教师可以应用直线坐标系解决常见的基础性数轴问题，包括利用数轴表示点、比较大小、理解相反数、绝对值和求最值等，将抽象问题变得具体形象。

例如，在学习数轴时设置题目：①数轴上点A的位置如图所示，那么点A表示的相反数是____。

解析：本题主要考察利用数轴表示点和理解相反数，根据上图得知点A所表示的数是-2，结合相反数的定义能够得出-2的相反数是+2。

②点N、M、P、Q在数轴上的位置如图所示，那么这4个点中对应数的绝对值最大的点是____，最小的点是____。

解析：本题主要考察应用数轴比较数的大小，以及对绝对值概念的理解。学生通过对数轴上N、M、P、Q这4个点的观察，结合绝对值越大表示点与原点的距离越远，能够清晰观察到点Q距离原点最远，即点Q的绝对值最大；同理，点P距离原点最近，那么绝对值最小的是点P。

上述案例，在解决用数轴表示点、理解相反数，比较大小和理解绝对值等基础性问题时，通过对直线坐标系的应用，能够将题目内容清晰地呈现出来，帮助学生降低学习的难度，更加扎实地掌握数学知识。

二、运用坐标系，解决实际问题

坐标系这一特殊工具，能够贯穿数学学习的始终，是联系数和形的纽带，而且在实际生活中有着广泛的运用。学习数学知识的目的主要是为现实生活提供服务，解决一些实际性问题。在初中数学教学中，教师可以借助直线坐标系，指导学生解决一些生活话问题，培养他们的知识应用意识和能力，在直观表示有理数的活动中获得成功体验，激发学生积极的数学学习情感，为后续学习数学奠定坚实的基础。

例如，一辆货车从仓库出发为汽车修理店送货，先向东行驶8千米到达修理店A，之后向西行驶3.5千米到达汽车修理店B，继续向西行驶7.5千米达到修理店C，最后回到仓库。（1）向东用正方向表示，每个单位长度表示1千米，在数轴上找出修理店A、B、C的位置；（2）修理店C距离B多远？（3）该辆货车的行程是多少千米？解析：该道题目考察学生借助数轴解决实际问题的能力，（1）通过数轴将三个修理店A、B、C的位置标出，如图：

（2）根据数轴能够得知修理店B和修理店C之间的距离为：4.5-（-3）=4.5+3=7.5（千米）。（3）货车一共行驶|8|+|-3.5|+|-7.5|+|3|=22（千米）。

如此，学生借助直线坐标系，能够清晰地看到三个修理店之间的位置关系，及货车的实际行程，将问题变得异常简单化和具体化，再结合绝对值知识顺利解决题目中的问题。

三、巧用坐标系，解决图形问题

平面直角坐标系作为一个数学工具，能够帮助学生很好地研究图形性质与位置问题，帮助他们进一步掌握数形结合的思想。而且在中考或模拟测试中，通常利用数轴和平面直角坐标系考察学生对图形知识的掌握情况。初中数学教师在具体的教学实践中，可通过平面直角坐标系解决图形变化问题，将部分图形问题放在坐标系中思考，将会降低问题难度。

例如，如图所示：已知点A（-2，3）、B（4，3）、C（-1，-3）。（1）求点C和x轴之间的距离；（2）求三角形ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积是6时，求点P的坐标。

解析：（1）运用坐标点的意义求点C和x轴之间的距离，因为点C的坐标是（-1，-3），所以|-3|=3，即点C和x之间的距离是3。（2）根据点A、B、C的坐标得知AB=4-（-2）=6，点C距边AB为3-（-3）=6，则△ABC的面积为6×6÷2=18。（3）设点P为（0，y），由于△ABP的面积是6，结合點A、B坐标得出 ×6×|x-3|=6，x=5或x=1，则点P为（0，5）或（0，1）。

在上述案例中，学生利用平面直角坐标系解决图形性质与位置问题，把图形放在平面直角坐标系中思考和分析，将会有效降低题目难度，再搭配三角形面积公式解决问题，不断提升学生思维的灵活性和深刻性。

四、活用坐标系，解决函数问题

在初中数学教学过程中，函数是相当重要的构成部分，其中一次函数、反比例函数、二次函数的学习均需要平面直角坐标系的辅助，尤其是一些综合性函数问题难度较大，图像比较复杂，涉及到两种或两种以上的函数知识。对此，教师需善于借助平面直角坐标系的优势，指导学生分析和研究综合性函数图像问题，使其快速、高效解决函数问题。

例如，如图：已知点A（4，0）、B（1，3）在抛物线y=ax +bx上，点B、C关于抛物线的对称轴对称，经点B作BH⊥x轴于H。（1）求点C的坐标和△ABC的面积；（2）抛物线上有一动点P在第四象限，当△ABP的面积是6时，求点P坐标。

解析：（1）将点A、B代入抛物线表达式中得出16a+4b=0，a+b=3，则a=-1，b=4，抛物线表达式是y=-x +4x，点C的坐标是（3，3）。根据题意得知BC=2，S = ×2×3=3。（2）过点P作辅助线PD⊥B于D，设点P（a，-a +4a），则BH=AH=3，HD=a -4a，PD=m-1，S =S +S -S ，将各个数值代入得出m=0（舍去）或m=5，所以点P的坐标是（5，-5）。

在初中数学课堂教学中，学生学习函数知识离不开平面直角坐标系的辅助。学生借助平面直角坐标系，分析综合性问题，涉及到抛物线、对称轴、图形面积等知识，可以把复杂化、抽象化的问题变得简单化和具体化，从而降低解题的难度，最终求出正确答案，深层次地领悟函数的意义。

总之，在初中数学教学活动中，不少数形结合类题目都能运用到坐标系，在解答此类题目时，学生需要明白考查范围和知识点，根据题目画出或分析相应的坐标系，促使他们顺利解答数学问题，不断提升他们的数学综合能力，实现可持续发展。

【参考文献】

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