图形基本化的解题思路

向兴河

一个较为复杂的构图往往是以“基本图形”为核心，用基本图形做“底”，将三角形、四边形、圆等基本图形充实丰富，然后研究所构图形内在的因果逻辑关系，把因果联系设置为“条件”和“结论”，并将其“数学化”，就成为一个数学问题。平面几何的教学，从某种意义上讲就是教会学生认识基本图形，抓住基本图形分析和解决问题，并使之成为一种解决问题的思路。

一、立足基本图形，夯实图形基础

关于基本图形的定义，学界并没有一个统一的界定，它不像一些基本的数学概念那样严谨、清晰。华中师范大学教育学院刘辉老师认为，基本图形可分为三类：概念型基本图形，定理型基本图形，经验型基本图形。

如：平面几何当中的平行线、直角、等腰三角形、直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等几何概念，都对应着一个基本图形，我们稱之为概念型基本图形。

平面几何中，每一个公理、定理及推论都对应着一个图形，在这个图形当中都包涵着命题的题设和结论，如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（如图1）;等腰三角形顶角角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（如图2）等，我们称之为定理型基本图形。

还有一类基本图形，就是我们在教学中，通过例题、习题的经验积累，把一些有代表性的图形归纳为基本图形，作为思考其他综合图形的基础图形。如：直角三角形斜边上高（如图3）;一个平角被任意一条射线分成的两个角的角平分线互相垂直（如图4）等。

二、抓住问题核心，分离基本图形

从复杂的图形中分离出基本图形是一种有效的几何思维方式，它能够抓住问题的核心，摆脱复杂图形对思维的干扰，分解问题难点，化难为易，找出解决问题的途径。

1.从复杂的几何图形中分离出基本图形

例1 如图5，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合。

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF;

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化。如果不变，求出这个定值;如果变化，求出最大（或最小）值。

分析：连接AC以后，只要抓住等边三角形ABC和等边三角形AEF这两个基本图形即可解决问题（如图6）。因为四边形AECF的面积就是等边三角形ABC的面积，△CEF的最大面积就是当△AEF面积最小时的面积，所以只需求当等边三角形AEF的边AE⊥BC时，求出其面积即可。

2.从函数图像与几何图形的综合图形中分离出基本图形

例2 如图7，已知直线[y=ax+k]经过抛物线[y=ax2-4ax]的顶点A，且与x轴的交点为B。

（1）求k与a的关系式;

（2）∠OAB有没有可能为锐角？如果有，求出a的取值范围。若没有，说明理由。

分析：求出顶点A（2，-4a），则直线的关系可表示为[y=ax-6a]，则B（6，0）。去掉坐标系，去掉抛物线和直线，分离出△OAB即可（如图8）。“∠OAB有没有可能为锐角”转化为“∠OAB有没有可能为直角”的问题，在“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中求AC即可。

三、构造基本图形，突破问题关键

1.添加辅助线，将基本图形补充完整

例3 如图9，在△ABC中，AB=12，AC=18，E是BC的中点，AD平分△ABC的外角∠FAB，且BD⊥AD，垂足为D，连接DE，求DE的长。

分析：抓住图9中“AD平分∠FAB，AD⊥BD”这一条件，联想到基本图形“一个三角形的角平分线与对边上的高互相重合”，于是延长BD交AF于G，就构造了“等腰三角形ABG”（如图10），实际上就是将等腰三角形ABG补充完整，即可得出D是BG的中点，DE则是△GBC的中位线，这样就可求出DE的长。

2.添加辅助线，构造基本图形

例4 如图11，BD是□ABCD的对角线，AE⊥CD于E，交BD于F，BF=2AD，∠ADE=75°，求∠AFB的度数。

分析：由条件“BF=2AD”，和“∠BAE=90°”，可联想到“直角三角形斜边上的中线”这一基本图形，于是作△ABF斜边BF上的中线（如图12），即构造了基本图形“△ABF的斜边BF上的中线AG”（如图13），问题会迎刃而解。

总之，在平时的教学中，要立足基本图形，夯实图形基础，熟练掌握各个概念型基本图形的性质与判定，熟练掌握各个定理型基本图形的题设与结论，熟练运用经验型基本图形，使学生依托于基本图形，学会简单思考，简单分析，实现图形的题设与结论的相互转化，把学生的合情推理和演绎推理能力的培养放在问题探究过程中的重要位置。