巧设材料中，触发学生数学思维

陈芳

【摘要】作者以《植树问题》为例，谈谈在教学实践中，教师如何创设学习材料，抓住教学的有效时机，达到材料利用效果的最大化，取得最佳的教学效果，触发学生的数学思维。

【关键词】创设；学习材料；数学思维

所谓“学习材料”是指，在新课程教育教学理念指导下，教材中创设的数学学习材料或者师生创生的数学学习材料。在课堂教学中，通过教师的有效行为，抓住教学的有效时机，呈现学习材料，以达到材料利用效果的最大化，取得最佳的教学效果，促进学生的有效发展。

“植树问题”是人教版新课程标准教材五年级上册“数学广角”的内容，通过现实中常见的实际问题，借助线段图等手段，让学生从中发现规律，抽取出数学模型，从而解决实际问题。在这个教学过程中，教师提供的学习材料，直接影响着学生思维发展的方向和程度。

下面就以“是植树问题”为例，谈谈在教学实践中，教师如何创设学习材料，抓住教学的有效时机，达到材料利用效果的最大化，取得最佳的教学效果，触发学生的数学思维。

一、引发思维冲突，渗透化归思想

数学思想的渗透应该建立在学生原有思维框架的基础上，利用新旧知识思维方式的差异，巧妙制造思维冲突，有助于激发学生积极探究的欲望。“植树问题”引入环节，教师提供的信息材料有以下三种。

【材料1-1】24米小路一边植树，一共要植多少棵树？

出示材料后，教师问还要考虑什么，补充“每隔6米种一棵”和三种不同的植树方案。

【材料2-1】一条马路长1000米，每隔5米种一棵（两端要栽），一共要植多少棵树？

学生猜测结论（201、200），产生争论。

【材料3-1】一条马路长1000米，每隔5米种一棵，一共要植多少棵树？

学生猜测结论（201、200、199），产生争论。

根据教师提供的不同材料，学生的思维都不约而同地想到用“平均分”的旧知来解决问题。这个大的思维方向基本是一致的，但仔细看，笔者发现三种材料对学生思维的发展还是存在差异的。

材料1-1，教师缩小了例题的数据（100米），直接从24米引入，便于学生分析问题，用平均分解决问题。同时，不规定植树的三种情况，也给学生创造了思维自由发展的空间，产生不同的结论，引发争论。材料2-1和材料3-1从1000米引入，让學生猜测结论的同时，自然引入了要把数据改小进行研究。

这个阶段材料的设计，笔者认为体现以下三点比较合适。一是能让学生借助旧知“平均分”来解决问题。二是能制造思维冲突。不规定具体植树情况，就会让学生在利用旧知解决问题的时，引发争论，打开学生整堂课学习的求知欲和学习兴趣，提高课堂效率。三是能自然渗透化规思想。把数据合理扩大，学生带来的猜测就更加自然，为了方便研究，想到“把数据缩小”进行研究。如果从数据直接缩小开始探究，不利学生自由思考、渗透化繁为简的数学化归思想。

二、感知有序思维，体验对应思想

培养学生有序思维，教师必须在课堂中注重渗透。教师在教学过程中要用好学生的材料，引导学生有序地看、有序地想、有序地说、有序地做，才能让学生方法对头，思路清晰，体验到一一对应思想，把数学知识转化为受益终身的数学思想方法。“植树问题”探究一环节，教师可让学生自主表征题意，组织有序反馈，并让学生体验一一对应的数学思想。

【材料1-2】用一条线段表示24米，请学生自主表征。然后，教师选取3种不同情况的表征材料进行反馈，并在黑板上示范贴出3种情况，用箭头标注出“棵数和间隔数”，最后，让学生寻找3种表征的相同点。

【材料2-2】由材料2-1改小数据，用一条线段表示20米，学生自主表征两端都栽这1种情况。教师选取一个表征材料进行反馈，并在黑板上示范贴出1种情况，用箭头标注出“棵数和间隔数”。

【材料3-2】由材料3-1改小数据，用一条线段表示20米，学生自主表征。教师选择3种不同情况的表征材料进行反馈后，显示表格让学生讨论。

怎么栽 相同之处 不同之处

两端都栽

只栽一端

两端都不栽

教师选取学生表征的不同材料，展开第一次探究活动，学生都能画出类似的线段图，并从图中得到结果。教师利用学生表征材料，从“两端都栽→只栽一端→两端都不栽”逐层有序反馈，学生在有序地看、有序地想、有序地说的同时，初步体验一一对应的数学思想，为后面的实践活动做好铺垫。

通过比较，笔者发现三种材料对学生思维发展还是有联系又有差异的。材料1-2和材料3-2都让学生在观察表征后，说一说三种情况的相同之处，对学生思维的发展有较强的帮助，利于后面植树问题规律的得出。材料2-2是从“两端都栽”这一种情况示范让学生体验，是一种设计思路，但是教师牵着走的痕迹比较明显，有部分学生的思维受到了暂时性遏止。

这阶段材料的选择，笔者认为能体现以下三点比较合适。一是要让学生用画图策略创生学习材料，经历解决问题的过程。二是教师要合理选择学生的表征材料，并有序组织学生交流，给学生思维多元表达的机会。三是要借助表征材料让学生初步体验一一对应的思想，把间隔数和栽树棵数一一对应起来，渗透对应的数学思想。

三、触发推理思维，感悟数形结合

推理是数学学习最基本的思维方式之一，有了对植树问题规律的初步感知，就需要触发学生的推理思维，充分感悟数学结合的数学思想，建立植树问题的数学模型。“植树问题”第二个探究环节，教师创设的学习材料，关乎能否更好地触发学生的推理思维，取得教学的最大效果。

【材料1-3】

（1）我想每隔（ ）米种一棵，我先把线段平均分成（ ）段。

（2）画出三种设计方案

两端都种只种一端两端都不种

用同样的方法研究另两种情况。

教师创设的这三个材料都引导学生运用推理思维解决问题，并寻找植树问题的规律，建立数学模型。但教师创设学习材料的差异，决定着学生在构建模型的过程中，是相互混淆的，还是突出本质的？是被动接受的，还是主动建构的？是单独割裂的，还是融会贯通的？

材料1-3，教师提供的表格把三种情况都事先预设好，每位学生通过画图进行探究。但每位学生只研究了一种长度（24米）的一种间隔数的情况，学生实践的材料还不够丰富。随后，教师把学生的数据填入汇总表，让学生观察表格，发现规律。虽然上面有画图的步骤，但是汇总到表格后去发现规律时，还是数形分离的，而且，三种情况交杂在一起，容易混淆。

材料2-3，教师提供表格先研究两端要栽这一种情况，得出“棵数=间隔数+1”。虽然，一种情况的探究过程比较清楚，但是后面仍旧单独介绍“只栽一端”和“两端都不栽”情况，此过程，过于分裂，知识断开，使课堂显得一问一答式，缺少融合，学生被动接受规律。

材料3-3，教师在表格材料前，加入了提示语“间隔数与棵数之间有什么关系？借助图自己研究（数一数也可以，圈一圈也可以）”，既让学生有明确的研究目标，又为学生提供了研究的策略（数一数、圈一圈），使学生的学习有力可借。更为巧妙的是，在提供表格材料的第一行，有线段图加以支撑，非常巧妙，既给学生学习辅以台阶，在总长20米栽树时可以直接数一数，又让学生继续研究总长25米、30米、35米时，可以继续沿着原有线段图画一画。在画的同时，还可以进一步强化“一个间隔数、一棵数”的一一对应关系体验，还可以得出“间隔数+1=棵数”这一规律。随后，教师让学生用同样的方法研究另外两种情况，得出“一端不栽：间隔数=棵数”“两端都不栽：间隔数-1=棵数”的规律。

教师巧妙创设的材料3-3，承载着多维设计意图，一是让学生自主完成表格，二是给学生辅以图的支撑，三是在学生继续画图时强化对应思想，四是便于學生推理，找到规律，把数与形完美结合在一起。材料3-3，把三种植树情况融会贯通，主次分明，既突出了知识的本质，又让学生于无痕中自主获取新知，真正触发学生的数学思维。

在教学实践中，教师对学习材料的运用异同，直接影响课堂教学效果。因此，在教学实践中，教师对课堂教学中学习材料的创设非常重要，创设得好，能触发学生的数学思维，取得最佳的教学效果。反之，则无法达到有效或者高效的课堂效率。让我们不断地去探索、研究有效学习材料的创设，让学生不仅在课堂中获得知识，更能促进学生思维的可持续发展。