“植树问题”之两端都种的教学设计

鲍海林

[摘 要]植树问题的教学主要是为了渗透数学模型思想。通过生活中一些常见的问题，让学生从中发现一些规律，提取其中的数学模型，然后再用发现的一些数学规律来解决生活中的一些简单问题。

[关键词]植树问题；建构模型；寻找规律

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0077-02

【教学内容】人教版教材五年级数学上册106页

【教学目标】

1.通过合作探究、动手实践，经历将数学问题抽象成数学模型的过程。理解并掌握植树棵树与间隔数之间的关系。

2.渗透模型、数形结合和对应等基本数学思想，以及“化繁为简”等解决问题的策略。

3.培养学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。

【教学重点】理解植树问题棵树与间隔数之间的关系，会应用“植树问题”模型解决实际问题。

【教学难点】 构建“植树问题”模型，准确应用“植树问题”模型解决实际问题。

【教学准备】课件，图片和小棒等。

【教学过程】

一、创设情境

师（课件出示设计图（图略）并指出要绿化的三处位置）：为了绿化生态园，需要在三处绿化植树，请同学们观察生态园的设计图。

师：大家觉得这三处应该种什么树？怎样种才美观？

生1：风景树，每隔相等的一段距离种一棵，不同的树间隔距离也不同。

师：今天我们就来一起研究植树问题吧。

【设计意图：合理处理教材能让学生对本节课产生极大的兴趣。让学生说植树方案能够激发学生对植树问题的思考，渗透概念——间隔距离。】

二、探索交流，解决问题

1.建构数学模型

师：（例1）在全长30米的花园路一旁种樱花树，每隔6米栽一棵（两端都要栽）。一共要栽多少棵树？

生2：5棵。

生3：6棵。

师：能用什么方法证明你的猜想呢？

生4：画线段图。

生5：摆一摆。

（学生先动手实践，再在小组里交流自己的看法，最后在课堂上说出自己的验证方法）

生6：我是通过画线段图的方式。总长30米，每6米栽一棵，我就画了5段， 数一数有6个端点，所以一共栽6棵。

生7：我是用摆模型的方法。总长30米，每6米栽一棵，我就用一根小棒的长度表示6米，需要6根小棒；然后用1个小正方形来表示1棵树，要摆6个，所以一共栽6棵。

师：大家说得都非常棒，我们把道路被树木间隔成的段数叫作间隔数。（结合课件及学生的作品進行讲解）

【设计意图：通过猜想与验证，让思想与实践进行碰撞，让学生理解两端都栽是什么意思，再让学生在交流多种方法中清楚间隔数指的是什么，使得学生初步建立起数学模型，加强对植树问题的理解。】

2.列式解决问题

师：你能结合自己所画的图或摆的模型列出算式并解答吗？

生（齐）：能。

生8：30÷6+1=6（棵）。

师：能说一说你是怎样列出算式的吗？

生8：这条路全长是30米，每隔6米栽一棵，那么30÷6=5，因为两端都要栽，就会多出1棵，所以要+1，于是5+1=6（棵）。

师：（例2）现在因为有井盖，所以只有24米可以种树，每隔6米栽一棵（ 两端都栽）。一共要栽多少棵树？

生9：5棵。

师：是5棵吗？大家摆一摆，看看是不是5棵。

生10：是5棵。

师：你能快速列出算式吗？

生10：24÷6+1=5（棵） 。

师：说一说你是怎样列式的。

生10：这条路全长是24米，每隔6米栽一棵，那么24÷6=4，因为两端都栽，所以4+1=5（棵），要栽5棵。

【设计意图：例1是让学生先尝试列式解答，再结合图形进行理解和消化，明白算式里为什么要+1，从而理解算理。由例1已获得的经验来解决例2相同情况的问题，意在让学生熟悉解题方法、积累经验，感受数形结合的魅力，引发学生的成就感。】

3.回顾解题过程，寻找解决此类问题的规律和技巧

（1）从算理角度观察

师：对于解决这种两端都栽的情况，我们可以怎样快速得出答案？

（教师引导学生回忆例1和例2的解题过程，结合算式 30÷6+1=6（棵）和24÷6+1=5 （棵）得出规律）

生11：棵数=总长÷间隔距离+1。

（2）从图形方面观察

师：还有没有其他不同的看法？

生12：棵数=间隔数+1。

（教师指导学生动手操作探究棵数与间隔数的关系并记录数据）

得出规律：棵数=间隔数+1

总长÷间隔距离 =间隔数

【设计意图：对于小学生来说，要探索知识间的规律是比较难的，所以教师要想办法化繁为简，引导学生多角度、多方面进行观察分析，从而获得知识的内在关系。】

三、巩固应用

师：我们通过探究得出了解决此类问题的规律。如果有一条路是全长50米的沿湖路，要在两旁栽桃树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树？（学生板演）

师：其实在日常生活中我们也有其他类似于植树模型的问题。比如，在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安装一盏。一共要安装多少盏？

师：除了路灯，大家觉得现实生活中还有哪些类似于植树问题的实例？

生：上楼梯的台阶，教室的座位，窗户的不锈钢钢管，钟表的指针走动方式……

【设计意图：第一个问题是锻炼学生运用新知去解决实际问题的能力，第二个问题是拓展学生对知识的认识，让学生回归生活，使学生明白数学知识来源于生活，又运用于生活。】

四、拓展延伸，激发兴趣

师：周长60米的圆形湖的四周，每隔10米栽一棵树。一共要栽多少棵树？

生13：60÷10=6（棵）。

师：为什么不“+1”呢？

生13：因为它不属于两端都种的情况，它的首尾两端是重合的，所以不能+1。

【设计意图：诱发学生深层次的思考——能不能用前面所得规律来解题？为什么？数学中的一些规律只适用于特定情况，不能生搬硬套，此题不仅能检验学生的学习成果，还能渗透化曲为直的数学思想，将学生的思维推向一个新的高度。】

五、收获喜悦，欣赏美景

师展示绿化植树后的生态园图片（略）。

【设计意图：让学生感受劳动之美，发现数学之魅力。 】

【课后反思】

1.正确解读和合理处理教材

教材上是让学生在一条100米的道路上植树然后探究植树问题，因为这条路比较长，学生既不知道从何下手，又不感兴趣，课堂气氛沉闷，学习积极性也差。为此，我设计了一个美丽生态园，学生一下子就有兴趣了。通过绿化生态园的植树问题将距离缩短为30米和24米，栽种方式既有直线型和也有圆弧型，层层递进，让学生逐步探究，学生在解决实际问题中获得了知识，课堂教学事半功倍。

2.渗透数形结合思想，帮助学生建立植树模型

数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够化抽象为形象，有利于学生把握数学问题的本质。

学生建立模型需要有一个过程，从初步感知猜想到画一画、摆一摆、看一看、辨一辨，一步步构建自己的植树模型。从观察图形到列出算式，再由算式算理回到图形分析，数与形始终联系在一起，学生在不断的变换中感受着数形结合的思想。这些思想能让学生对植树问题的认识达到一个新的高度从而构建数学模型。

（责编 金 铃）