借助几何直观 培养运算能力

金小亚

摘   要：运算是抽象的，而小学生的思维以形象思维为主，所以学习抽象的运算需要从直观入手。几何直观能沟通实物与算理的关系，使抽象的运算变得简明、形象，帮助学生直观地理解运算。借助几何直观沟通算法与算理，帮助学生理解运算规则和运算定律的意义，拓展运算性质，提升运算思维，培养学生的运算能力。

关键词：小学数学;运算能力;几何直观;计算教学

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）01-0025-04

“运算能力”是指“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”运算能力的培养是一个长期的过程，需要落实到具体的课堂教学中，也需要恰当的教学方法。运算是抽象的，运算的学习都是从具体事物开始，之后逐步抽象成数、式、方程等运算。但小学生的思维以形象思维为主，过快的从具体事物跃升到抽象运算，不利于学生对知识的掌握，也不利于运算能力的培养。所以，在具体事物和抽象运算之间，需要直观图形的介入，实现“逐步抽象”，帮助学生理解算理，掌握运算意义，灵活运用运算解决问题、发展思维。

利用图形描述和分析问题，就是几何直观。借助几何直观，可以使抽象的运算变得简明、形象，帮助学生直观地理解运算，使运算的思维过程清晰可见。教师应通过沟通算法与算理，使学生理解运算规则和运算定律的意义，拓展运算性质，提升运算思维，培养其运算能力。

一、利用直观图形，沟通算法、算理

学生运算能力的高低更多是受基本算理理解能力的影响，要夯实运算基础，首先要让学生理解算理，实现算法与算理的沟通。曹培英教授认为，基本口算与算法、算理共同构成运算能力的底部。而“算理的解析是教学重点，一般也就是教学的难点所在。”

儿童的数学学习与生活紧密联系，小学四则运算的学习都是从生活实例入手，但算理的理解不能仅停留在实物层面，要让学生经历从“实物——图形——算理”的过程。因为图形相对实物更具有普遍性，也相对抽象，可以帮助学生脱离具体数量的干扰，有助于学生深入地分析和理解运算本身。

如两位数乘两位数的笔算乘法。如果在教学中不重视算理的得出，学生也能够按照计算法则进行计算，尽管这样的计算更多的是一种模仿。以34×12为例，笔者对4所不同层次学校共8个班级学生的调查表明，学生计算的正确率都超过了90%，而对算理的掌握程度却并不乐观。浙江省小学四年级数学质量监测中的相关题目（图1）就充分说明了这一点：全省选择正确答案A的学生仅有60.9%。只能模仿计算而不理解算理，即有了计算能力而缺乏运算能力，这对后续学习简便运算、解决问题等都会带来负面影响。

可见，在教学中要加强算法与算理的沟通，通过具体实例、图形、数字等不同表征形式的转换，帮助学生理解算理。

大致教学过程如下：

（1）出示例题：每套书有14本，王老师买了12套，一共买了多少本？学生列出算式14×12后，思考：能用几种方法计算？（生活实例引入）

（2）展示不同方法，如14×2×6，14×3×4，14×10+14×2，10×12+4×12，2×12×7……等。比较后得出，不同计算方法的结果都是相同的。（探究多种算法）

（3）出示37×13，学生思考后发现，把其中的一个两位数分拆成整十数加一位数（如37×10+37×3）是一種适用于所有的两位数乘两位数的通用方法。（从特殊到一般）

（4）结合点子图进行理解（图2），经历从口算到竖式计算的转变（图3），最后归纳竖式计算的步骤和方法。（借助图形，理解算理）

通过教学，学生真正理解了算理。计算时，不再是机械地模仿，而是基于算理理解的运算。教后测试，同样题目的正确率超过了95%。

点子图的介入，使两位数乘法竖式的每一步都有对应的图形解释，有助于学生更好地理解算理，构建运算模型。张奠宙教授指出：“从‘会做提升到‘知道为什么这样做，事关创新人才的培养。”卡莱尔的研究表明，能够贯通算法与算理的学生往往表现出较高的数意识和运算感，也能够形成有效的推理策略、更好的交流技能，以及大范围问题解决策略的丰富经验。小学数学的算理教学都离不开图形，图形帮助学生理解算理，从正确计算上升到正确理解。

几何直观在沟通算法、算理中能发挥很好的作用。教材中也有很多借助几何直观说明算理的例子，如9加几、表内乘法、分数加减法等等。充分运用好几何直观素材，促进算法、算理的理解与沟通，能更好地培养学生的运算能力。

二、进行直观操作，理解运算顺序

理解运算顺序一直是四则运算教学的重点和难点。运算顺序的规定是为了保证计算结果的唯一性，是人类追求简捷的本能在计算活动中的具体反映，要在理解的基础上进行教学。

直观操作能更好地帮助学生理解运算顺序。通过对图形地观察、操作，能够使复杂的算理变得形象直观，让学生体会到运算顺序规定的必要性，理解运算顺序，提升运算能力。

如“乘加、乘减”的教学：

（1）师：观察下面4幅图，列出算式。（图4）

（2）分别得到下列算式：

（3）让学生用笔在图上圈一圈，想一想先算什么、再算什么，然后计算。

（4）读出第二行的算式。

学生通过操作，理解“先乘除后加减”不是简单的规定，而是人类追求简捷的本能在计算活动中的具体反映。学生通过直观操作，经历观察、列式、说意义、读算式等过程，体会到“把算式里相同的加数表示为乘法形式，能使计算简便”。

理解运算顺序的目的是“根据法则与运算律寻求合理简洁的运算途径”，这是运算能力的重要体现。运算顺序的规定从来不是死板的，即便如基本的加减混合运算217+49-17、217-49-51、217+49+83等题目，不同的题目也可以采用不同的运算顺序使计算简便。直观图形能帮助学生理解运算顺序，使得运算顺序不再是强制规定，而是基于计算简便的自觉要求，从而形成合理简洁运算的意识和能力，达到培养“灵活运算”能力的要求。