一道课本习题的解答引起的联想

甘肃临泽一中 (邮编：734200)

问题1 (人教版.普通高中课程标准实验教科书.数学2.必修A版，第132页习题4.2A组第11题)

求经过点M(3,-1)且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程.

常规解法设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

由题意，可得

(1)

故所求圆的方程为

关于a、b、c的方程组(1)容易列出，但解该方程组运算量非常大，既要平方去根号，又要代入消元，这对学生数据处理能力的考查要求非常高，绝大多数学生会因为运算量太大而半途而废，怎么办？有无简便方法？

联想1 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，则过两圆交点的圆方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

题目中已知的圆只有一个，怎样再找一个呢？

联想2 若圆的一条直径的两端点分别是A(x1,y1)，B(x2,y2).

则此圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

题目中只有一个切点，并不是两个交点，怎么办？

联想3 利用极端化思想

若把直线与圆相切视为直线与圆相交的特殊情形，把切点视为重合的两交点，则可设过切点N(1,2)的圆方程为(x-1)(x-1)+(y-2)(y-2)=0，即点圆(x-1)2+(y-2)2=0.

于是可得下面的简便解法：

结论1 若圆C与圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0切于点P(x0,y0)，则圆C的方程可设为(x-x0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0.(易证，略)

常规解法设圆C的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.又圆C1的圆心C1(1,0)，半径为1，

(2)

同样，关于a、b、r的方程组(2)容易列出，但解该方程组运算量非常大，既要平方，又要去绝对值符号，怎样才能简少运算量，迅捷解决问题呢？

联想4 若直线l：Ax+By+C=0 ，圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，则过直线l与圆C1交点的圆方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(Ax+By+C)=0.

题中已知的圆只有一个，利用切点再找一个.

联想5 利用极端化思想

化简得λ+6=2|λ|，

从而得λ=6或λ=-2.

当λ=-2时，圆C的方程为x2+y2-8x+12=0.

结论2 若圆C与直线l：Ax+By+C=0切于点P(x0,y0)，

则圆C的方程可设为(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0.(很容易证明，本文略)

由此可见，在求圆方程时，对于有关切点的问题，若能利用极端化思想，大胆联想，积极探索，定可事半功倍，巧妙解决问题.

巩固练习

2.已知圆C与圆C1:x2+y2-2y=0相外切，并且与直线l：x+y-7=0相切于点N(4,3).求圆C的方程(答案：x2+y2-4x-2y+4=0).