对一道高考压轴题的深度探究

湖南省长沙市明德中学 (邮编：410009)

近日笔者在上一堂高三习题课时，讲到一道2016年高考浙江卷的压轴题，不料一波三折，“被迫”与学生一道对该题进行了深度探究.

图1

1 试题再现

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；

(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

笔者按照上述标准答案的解法讲解了该题，指出关键是求出a2的取值范围，并着重点评了“正难则反”的思维，本以为这样就可以完美收官了，但学生们普遍表现出一种欲言又止，心有不甘的表情，一方面对“正难则反”的方法啧啧称叹，一方面对自己从正面解题的方法也觉得不无道理，一时间大家各抒己见，争论不休.

2 华山论剑

图2

该生是凭借几何直观构造图形，但立刻遭到其他同学反驳.

生2：我认为在圆A变大时虽然点B不再是公共点，但可能在两侧产生新的公共点，所以这个椭圆并不满足与圆至多3个公共点的要求.

师：生2的怀疑确实不无道理，毕竟感性认识不具备理性的说服力，可否从理性的角度来解析呢？

图3

很明显此刻同学们的兴趣和疑惑更大了，一方面联立方程利用数形结合解题是大家常用的方法，另一方面两种结果竟然恰好相反，大家都把目光投向了教师，看来不搞个水落石出决不罢休了，于是笔者和同学们共同展开了对本题的深度探究.

3 深度探究

师：同学们专注于计算恰好3个公共点的情况，然而本题是要寻找这样一类椭圆，即无论圆A大小怎样变化，都至多3个公共点，因此不应局限在恰好3个公共点而止步不前，还要看在变化过程中是否出现4个公共点.

(1)当r2>f(-1)=4，即r>|AB|时，方程f(y)=r2无解，此时0个公共点；

(2)当r2=f(-1)=4，即r=|AB|时，方程f(y)=r2有唯一解y1=-1，此时对应1个

公共点(如图4、5) .

图4

(3)当0=f(1)

图6

图8

此时对应有4个公共点(如图10、11)；

图10

(4)当r2=f(-1)=4，即r=|AB|时，方程f(y)=r2有两个不同的解y1=-1，y2∈(-1,1)，此时对应有3个公共点(如图12、13)；

图12

(5)当0

图14

综上所述，当12时，圆与椭圆至多会有4个公共点.

4 尘埃落定

揭开庐山真面目，学生的满腹疑惑终于烟消云散，通过深度探究，训练了对函数的综合运用能力，强化了数形结合的思维，相信对提升学生包括逻辑推理等在内的核心素养大有裨益.