一类随机时滞捕食者-食饵模型的定性分析

尹文倩，刘桂荣

(山西大学 数学科学学院， 太原 030006)

随着现代工业和农业的发展，环境污染已成为重要的社会生态问题之一。环境中各种毒素的存在导致许多物种灭绝，这促使很多学者研究毒素对种群的影响[1-4]。

在现实生活中生物会受到环境噪声的影响。为此，建立下列随机时滞捕食者-食饵模型：

(1)

1 主要结论

下面采用反证法来证明τ∞=∞ a.s.。若这个结论不成立，则存在常数T>τ和ε∈(0，1)使得P{τ∞≤T}>ε。因此，对任意n≥n0，令Ωn={τn≤T}，从而

P{Ωn}≥ε

(2)

任取n≥n0且0≤t≤(τn∧T)，由It公式得

a13(t)x3(t-τ13)]-0.5a21(t)x1(t-τ21)-0.5a31(t)x1(t-τ31)-

a23(t)x3(t-τ23)]+0.5a12(t)x2(t-τ12)+0.5a32(t)x2(t-τ32)-

a32(t)x2(t-τ32)]+0.5a13(t)x3(t-τ13)+0.5a23(t)x3(t-τ23)+

0.5[-r1(t)+r01(t)c01(t)+r2(t)+r02(t)c02(t)+r3(t)+r03(t)c03(t)]+

(3)

其中：

(4)

对式(4)两边同时从0到τn∧T积分并取数学期望得

E[Q(x(τn∧T))+V(x(τn∧T))]≤Q(x(0))+V(x(0))+KE(τn∧T)

由此可得EV(x(τn∧T))≤Q(x(0))+V(x(0))+KT。对n≥n0，由τn的定义可知，对每个ω∈Ωn，存在x(τn，ω)的某个分量xi(τn，ω)等于n或者1/n。结合式(2)可得

(5)

其中IΩn代表Ωn上的示性函数。令n→∞可得，等式(5)的右端等于∞，这与式(5)矛盾。因此τ∞=∞ a.s.，从而模型(1)在[-τ,∞)上存在唯一正解。

定理2

1) 对于模型(1)中的食饵种群x1，若〈b1(t)〉*<0，种群x1灭绝；若〈b1(t)〉*=0，则种群x1随机非平均持久。

证明

1) 对于lnx1(t)应用It公式[8]并积分得

(6)

同理：

(7)

(8)

同理

(9)

由此可得，对0

注意到，M1i(t)是初值为M1i(0)=0的连续局部鞅,i=1,2,且

从而

(10)

注意到存在常数T2>T1，使得对于T2≤k-1≤t≤k及k≥k0，都有

(2lnk)/t≤ε/6，M11(t)/t≤ε/6，M12(t)/t≤ε/6

(11)

将其代入式(10)可得

(12)

根据洛必达法则可知

2) 若〈b1(t)〉*≤0，由 1) 知，〈x1(t)〉*=0。注意到〈-bi(t)〉*<0，从而存在充分小的ε>0和T3>0，使得当t>T3时有〈-bi(t)〉<〈-bi(t)〉*+ε<0,i=2,3。由式(7)及式(9)得，对几乎所有的ω∈Ω，存在一个整数值随机变量k0=k0(ω)使得当k≥k0时，

t-1lnxi(t)≤t-1lnxi(0)+〈-bi(t)〉+t-1Mi1(t)+t-1Mi2(t)+t-1(2lnk)+

(13)

两边同时取上极限，则由强大数定律得

若〈b1(t)〉*>0时，下面证明结论(2)仍成立。由式(6)及(11)得

t-1lnx1(t)≤t-1lnx1(0)+〈b1(t)〉*+ε/2-(a11*-ε)〈x1(t)+ε/2,t>T2

类似于 1)中情形〈b1(t)〉*=0的证明方法，可得

〈x1(t)〉*≤〈b1(t)〉*/11*a.s.

(14)

根据式(7)及(13)知，对几乎所有的ω∈Ω，存在整数值随机变量k0=k0(ω)使得当k≥k0时，

t-1lnxi(t)≤t-1lnxi(0)+〈-bi(t)〉+t-1Mi1(t)+t-1Mi2(t)+t-1(2lnk)+

两边同时取上极限，由强大数定律得

(15)

另一方面，对于固定的ε>0，对几乎所有的ω∈Ω，存在一个整数值随机变量k0=k0(ω)，T2>0，使得当k≥k0，t>T4时，

由式(7)及(9)可得，对任意的t>T4有

注：由定理2的证明过程可知，当食饵种群灭绝时，捕食者种群也灭绝。

2 数值模拟

假设模型(1)的初值为φ1(t)=φ2(t)=φ3(t)=0.3e0.5t，t∈[-τ,0]。为了验证本文的理论结果的合理性，选取下列参数：r1(t)=0.1+0.01sint，r01(t)=0.1+0.01sint，c01(t)=0.4sint,r2(t)=0.1+0.04sint，r02(t)=0.03sint，c02(t)=0.5sint，r3(t)=0.1+0.03sint,r03(t)=0.04sint，c03(t)=0.3×sint,a11(t)=a12(t)=a13(t)=0.3,a21(t)=a22(t)=a23(t)=a31(t)=a32(t)=a33(t)=0.4,τ12=τ13=τ21=τ23=τ31=τ32=1。

图1 种群的数量变化