从高考题看高中数学圆锥曲线解题技巧

李勇 周会娟

【摘要】 圆锥曲线是历年数学高考中的核心考点之一.圆锥曲线题型复杂多变，解题过程烦琐，学生稍不注意便会出错.圆锥曲线问题虽然较难，但解题时依然有一定的技巧和方法，学生掌握技巧和方法后便能轻而易举地求出题目.文章从高考题入手，对圆锥曲线解题技巧和方法进行了简单分析.

【关键词】 高考题;圆锥曲线;解题思想

一、从高考题看高中数学圆锥曲线试题

分析近几年高考数学中有关圆锥曲线试题可知，圆锥曲线主要以客观题和主观题的形式存在，考查知识点较多，椭圆、抛物线、双曲线等都是考查对象.具体来讲围绕着圆锥曲线概念与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等出题.要求学生在掌握相关概念与性质的基础上运用各种数学思想方法如数形结合、分類讨论等方法求解.高考数学对学生数学思想、解题能力要求较高，圆锥曲线试题更体现出这一高考特征.

二、圆锥曲线高考题的解题技巧

（一）圆锥曲线性质类试题解题技巧分析

圆锥曲线性质基本知识点考查是高考数学的常见考点.题目设计时一般将圆锥曲线信息和其他平面几何图形结合起来，全面考查学生对相关知识点的掌握程度.求解时，对学生数学思想的掌握有一定要求.一般情况下，在求解这类问题时应采用待定系数法进行求解.

例1   已知A，B为双曲线E的左右两个顶点，M为E上的一点，△ABM是等腰三角形，顶角为120°，E的离心率为（  ）.

A. 5

B.2

C. 3

D. 2

解析  该试题来自2015年新课标2的高考数学卷.该题对双曲线标准方程及性质、等腰三角形性质相关知识进行了考查.求解时，可采用待定系数法，假设双曲线方程为 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0），

如图1所示.△ABM是等腰三角形，|AB|=|BM|，∠ABM=120°.过M作一条垂直于x轴的垂线MN，N为垂足.在Rt△BMN中，求出|BN|=a，|MN|= 3 a，M的坐标为（2a， 3 a）.根据c2=a2+b2、离心率e= c a （e>1），求出c2=2a2，e= 2 .故答案为D.

（二）直线与圆锥曲线位置关系试题解题技巧分析

直线与圆锥曲线位置关系是高考中常见的考点，中点弦方程、轨迹问题、直线参数、直线过定点、求弦长、最值问题等是经常考点的内容.在解决这类问题时方法较多，如数形结合思想、韦达定理、设而不求、函数与方程思想等，都是常用的解题思想和方法.

例2   已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）的一个焦点，C1，C2公共弦长为2 6 ，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，AC ，BD 同向.（1）求C2方程;（2）若|AC|=|BD|，求直线l斜率.

解析  该题是2015年湖南数学高考中的一道题，该题属于典型的直线与圆锥曲线位置关系试题.该题中涉及函数和方程，求解时可以运用函数与方程思想、数形结合思想.

（1）由C1：x2=4y可知其焦点坐标，即F（0，1），由于F也属于C2上的焦点，故a2-b2=1 ①.又因为C1，C2公共弦长为2 6 ，C1，C2关于y轴对称，得出C1，C2公共点坐标为 ± 6 ， 3 2  ，故 9 4a2 + 6 b2 =1 ②，联立①②得出a2=9，b2=8，求出C2方程为 y2 9 + x2 8 =1.

（2）根据题意画出如图2所示的图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.因为AC ，BD 同向，故x3-x1=x4-x2，即x3-x4=x1-x2.（x3+x4）2-4x3x4=（x1+x2）2-4x1x2 ③.设直线l斜率为k，则直线方程为y=kx+1.由 y=kx+1，x2=4y，  得x2-4kx-4=0.x1，x2是方程的两个根，故x1+x2=4k，x1x2=-4 ④.

由 y=kx+1， x2 8 + y2 9 =1，  得（9+8k2）x2+16kx-64=0，x3，x4是该方程的两个根，x3+x3=- 16k 9+8k2 ，x3x4= - 64 9+8k2  ⑤.将④⑤代入方程③中，得出16（k2+1）= 162k2 （9+8k2）2 + 4×64 9+8k2 ，即16（k2+1）= 162×9（k2+1） （9+8k2）2 ，（9+8k2）2=16×9，求出k=±  6  4 ，即直线l的斜率为±  6  4 .

高考试题中，圆锥曲线试题类型多样化、多变化特征明显，但不管题型如何变化，都离不开圆锥曲线概念与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识，学生在求解圆锥曲线相关试题时，应熟练掌握相关概念和性质，学会运用各类数学思想进行解题.仔细审题，明确题目所考查的知识范围，选择合适的数学思想和方法进行求解.备考时，学生应从数形结合思想、函数与方程思想等方面入手，运用待定系数法、点差法等多种方法和技巧进行求解，找出不同题型合适的解题方法和技巧，从而快速、准确的解出题目.

【参考文献】

[1]陈娟，李建军.圆锥曲线解题思路分析[J].数学学习与研究，2017（11）：109.

[2]赵倬.从高考试题看高中数学圆锥曲线解题技巧[J].数学学习与研究，2016（5）：135.