高中数学教学中开展研究性学习的途径

郑必强

【摘要】 研究性学习是学生在教师指导下，以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题，并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动.在此指导下，笔者结合数学课程内容，以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式，开展基础性、拓展性的学习研究活动.

【关键词】 数学教学;研究性学习;途径

一、在课堂教学中设计“研究性学习”的教学过程

数学教学不应是“结果”的教学，而应是“过程”的教学.数学活动的教学，就是要把知识的形成、发展过程展现给学生.具体来说，就是要把问题的提出过程、知识的获取过程、结论的探索过程、问题的深化过程等分析、解决问题的艰难曲折过程展现出来.

例如，笔者在“正弦、余弦的诱导公式”的教学中，把这个问题作为小组研究课题进行分析探讨：

1.提出学习课题（使学生明确研究方向）：锐角三角函数，可以查表求其值;能否利用已有的锐角三角函数表解决任意角的三角函数求值的问题？

2.确定研究方案（引导学生，如何把这个课题逐步具体与明确化，即要明确做什么？怎样去做？寻求解决问题的思想方法）：我们已学了诱导公式一，有了它就可以把任一角的三角函数求值的问题，转化为0°～360°间角的三角函数求值的问题.那么能否再把0°～360°间角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的0°～90°间角的三角函数求值的问题？

通过引导，学生逐步得到了解决问题的思想方法：

（1）分象限来解决——把范围缩小到0°～360°，由于终边在坐标轴上的角的三角函数值可求，与终边相同的角的三角函数值完全相同，故可取（0°，90°）、（90°，180°）、（180°，270°）、（270°，360°）作为四个象限的代表.

（2）进一步转化为锐角来解决——变为具体研究180°-α与角α的三角函数关系（这里，关键要讲清楚如何用锐角α来表示各象限周内角）.通过数形结合很容易得到这种关系，即：若锐角用α表示，则第二象限周内角用180°-α表示，第三象限周内角用180°+α表示，第四象限周内角用360°-α表示.

到此，學生已明确了具体的任务：要研究180°-α，180°+α，360°-α，-α，α的三角函数关系（增加-α是为了利于负角变正角，使计算更为简捷）.

3.班级小组研究学习：抓住主要矛盾来解决——结合单位圆及正弦、余弦的诱导公式推导.

4.班级讨论研究：其余公式的推导与规律的概括.首先根据推导公式sin（180°+α）=-sinα，cos（180°-α）=-cosα，笔者提出如下问题让学生讨论：上述公式是在角α为锐角的情况下推导出来的.如果把α扩展到定义域中的任意角时，公式是否仍成立？通过研讨后，同学们发现对诱导公式中的α，开始我们只要求为锐角就足够了，但推导结果却打破了我们的限制，即公式对任意角都适合，这个收获大大提高了公式的应用价值，使学生从中领略到数学的某种妙处.从锐角到任意角这一改进，是认识规律的一个飞跃.其次，从一节课中所推导的四组诱导公式，要求学生通过观察分析，能否概括出其统一的规律？（引导）——“=”左右两边函数的名称有什么联系？函数值前面的号的放置有什么规律？从而得出“函数名不变，符号看象限”的规律.

这个课例，不仅使学生掌握运用单位圆推导诱导公式这种数形结合研究数学的思想方法，更重要的是学到了研究问题的方法.例如，研究事物必须提出具体化的问题，即确定好课题十分重要;在研究问题时，应该讲究策略，应该抓住问题的主要矛盾来解决;掌握一定的素材后，就要善于分析，进行抽象概括.

二、在课堂上设置数学开放题引导学生研究学习

数学开放题体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，数学开放题可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感.因此，数学开放题用于学生研究性学习是十分有意义的.

开放题是数学教学中的一种新题型，通常是改变命题结构、改变设问方式、增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释，进而形成和发现新的问题.近年高考题中也出现了开放题的“影子”，如下列高考题：“关于函数f（x）=4sin（2x+ πn 3 ）（x∈ R ），有下列命题：① 由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是n的整数倍;② y=f（x）的表达式可改写为y=4cos 2x- π 6  ;③ y=f（x）的图像关于点 - π 6 ，0 对称;④ y=f（x）的图像关于直线x=- π 6 对称.其中正确的命题是 .（注：把你认为正确的命题的序号都填上）”显然高一《数学》第一册下第63页例4“画出函数y=3sin 2x+ π 3  的简图”可作为其原形.在讲此例时，笔者设计了开放的问题.再如，在讲集合有关概念时，笔者设置问题：“是否存在这样的集合，它的某一个元素又同时是它的子集？”学生通过对这样开放题的研究学习，逐步形成自觉的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养自己的实践能力.

研究性学习的开展需要有合适的载体，而数学开放题作为研究性学习的载体，满足了学生求知的欲望，充分调动了学生学习数学的积极性，使学生的创造潜能得到了极大的发挥.实践证明，数学开放题用于研究性学习是合适的.

总之，注重设计“研究性学习”的教学过程，设置数学开放题引导学生研究学习，其目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境.满足学生在开放性的现实情境中主动探索研究、获得亲身体验、培养解决实际同题能力的需要.