关于初中“最短路径问题”的教学之悟

曹俊玲

摘要：在中学数学学习中，大部分学生一旦涉及运用性的问题时，就感到无从下手，特别是在建立数学模型和综合运用数学知识解决问题等方面。本文以初中数学教学中“最短路径问题”为例，提出了一些心得。

关键词：初中数学   最短路径问题

一、初中数学教学中“最短路径问题”简述

在人教版八年级上冊“最短路径问题”的教学过程中，笔者发现，最短路径问题的教学模型有两个，即“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”。而运用最多的是“牧马人饮马问题”，它最早来源于“将军饮马问题”。下面，笔者重点对“牧马人饮马问题”进行教学分析。

二、教学效果分析

在教学过程中，“牧马人饮马问题”模型的教学是比较轻松的，学生也容易掌握，常考模型是两点在直线同侧。如图1所示，其原理是两点之间线段最短。结合轴对称知识，将其中任意一点做出它的对称点，再连接对称点与另一个点，则很容易找到最短路径。但是出题者常常结合角平分线的性质、三角形、四边形、圆、坐标系等知识点出题，如图2所示，由于学生在综合运用能力上的表现不一，这就导致“最值问题”成为初中数学教学难点之一。下面，笔者以朱村中学近期期中考试的一道题目为例，进行了统计分析。

如图3所示，△ABC为等边三角形，D为AB的中点，高AH=10厘米，P为AH上一动点，则PD+PB的最小值为 ______厘米。

解：∵点B关于AH的对称点为C，如图4所示

∴连接CD，则PD+PB的最小值为CD的长度

∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点

∴CD⊥AB

∴CD=AH=10厘米

∴PD+PB的最小值为10厘米

这道题为考试试卷填空题第16题，是填空题里的最后一题，其难度是比较大的，但是由于出题者将它设计为填空题，而且结合了等边三角形的性质，学生容易根据三线合一的性质，猜到答案为10。如表1所示，学生答题的正确率为63.6%，得分率比较高。但还是有28.1%的学生不明白最短路径原理，可见最值问题确实难度较大。

三、教学反思与感悟

1.抓住特征，理解本质

“最短路径问题”考查的知识点主要有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“点关于线对称”“线段的平移”等，其主要原型是“牧马人饮马问题”“造桥选址问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、抛物线等类型。解决此类问题的总体思路是找到点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

2.归纳方法，寻找技巧

由于最短路径问题与其他知识点具有较强的融合性，教师可以根据几何图形的性质灵活变式，归纳解题方法，再根据已有的模型和结论，抓住这一类问题的本质，找到解题技巧。华罗庚先生说过：“书要越读越薄。”做题目也是这样。题目是做不完的，但学生如果经常归纳方法，找到技巧，也可以越做越“精”，这对培养学生的数学自学能力非常有益。

参考文献：

[1]荀峰.最短路径问题[J].中学数学教学参考，2015，（Z2）.

[2]张媛.关于初中数学最短路径问题的探究[J].高考，2017，（6）.

（作者单位：广州市增城区朱村中学）