数学实验的探索与实践

江苏省南京市第二十九中学致远校区(210029) 王玉佳

1、引言

G·波利亚曾指出：数学有两个侧面,一方面它是欧几里德式的严谨科学,从这个方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面,创造过程中的数学看起来都像一门试验性的归纳科学.数学需要实验.数学实验以学生活动为主,有助于为学生提供一定的时间和空间,供学生自主发现问题、研究问题,充分发挥学生的自主性,培养学生创新能力.

《数学课程标准》中指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.”“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”数学实验是教师根据数学问题或其中各种元素所创设的问题情境,在这情境下,学生通过观察、操作、实践、试验等活动,自己发现问题、提出问题、验证问题,总结新结论.数学实验不是让学生被动地接受教科书上或教师讲授的现成结论,而是让学生从自己已有的“数学经验”出发,通过动手、动脑去获得新的数学经验,逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构,有利于培养学生的创新意识和应用能力,还有利于培养学生的合作精神.

2、课堂教学中的探索与实践

2.1 数学实验在课堂教学中的定位

(一)数学实验的基本理念

数学实验是让学生借助于一定的物质仪器或技术手段,并在数学思想和数学理论的指导下,借助于对实验素材进行数学化的操作来学(理解)数学、用(解释)数学或做(建构)数学的一类数学学习活动.

(二)数学实验的特点

数学实验使学生“从教学的旁观者变成教学的参与者”,它帮助学生培养创造性思维,积累基本活动经验,是数学教学的必要补充,体现了全面的、现代的数学观.

数学实验是过程式教学,体现了动态的数学教学观,它包含问题、语言、方法、命题四个要素,其中要用语言描述问题,用方法解决问题,结果以命题的形式呈现,完成过程式的教学.

(三)数学实验实施的方向

从学生已有知识与经验出发,通过自主探究、动手实践、合作交流,发现问题、提出问题、分析问题和解决问题,促进学生进一步体验数学与现实生活的联系,提高对数学学习的认识.让学生综合地、整体地运用所学知识解决问题,在巩固数学知识的纵向联系的同时,增强学科间知识的横向联系,促进学生知识体系的完整性.加深学生对所学知识的理解,使得学生的学习方式得到真正的转变.

2.2 数学实验的原则

数学实验考虑教学硬件设施、所学内容、学生能力,应材施教、因地制宜.在数学实验中,学生是活动的主人,教师是组织者、引导者与合作者,教师要充分发挥主导作用.引导学生在“做”中学、“做”中思考,让学生养成思考问题、发现问题,提出猜想、验证猜想的独立处理问题的好习惯.因此应该考虑如下主要原则：

(一)数学思想和实践紧密结合的原则

数学是一门应用性和实践性很强的科学,它与人类的生产、生活实际紧密相连.在传统的教学中,忽视了其应用性,导致学生认为数学仅仅可以在逻辑推理证明定理和假设,将实验与学生的实际生活割裂开来,使学生逐渐失去了对数学的兴趣.

让学生真正理解数学、运用数学,我们不仅要引导学生把生活经验运用到数学的学习中来,还要反过来引导学生主动观察、体会生活中的数学,用所学的数学知识解决生活中的实际问题；面对新的数学知识,主动寻求其实际背景,通过已有知识探索其应用价值；面对实际问题,主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决的策略.

因此,在数学教学中,需要注重强化了数学实验的应用性,将数学实验与学生的日常生活实际紧密联系起来,让学生从身边熟悉的事物入手,产生对数学实验的浓厚兴趣,并积极参加数学实验,从中获益提高.

(二)教师的主导作用和学生的主体地位辩证统一的原则

陆游说过“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”.从书本上得到的知识毕竟比较肤浅,要透彻地认识事物还必须亲自实践.学生的学习也是一样,只有动手操作和积极思考才能出真知.教师不再是简单的灌输,解答疑惑,而是引导学生去发现探索知识,课堂上呈现的不仅是教师的“教”而更是学生在“做”中学的场景.学生要养成自己主动的用数学眼光去思考问题,解决问题的习惯.

因此,实验教学方法的选择必须充分考虑两者的辨证关系,以充分调动学生学习的积极性为出发点,只有在学生想学和愿意学,由“要我做实验”转变成“我要做实验”的前提下,其主体作用和地位得以充分发挥,才能达到实验教学的目的.

(三)适用性原则

数学实验活动的内容应紧密联系学生身边的物体、现象来设计；以学生原有的知识经验水平、心理能力发展水平来设计.

中学生是正在成长的人,在这个年龄阶段,学生具有独特的认知特点和思维特点.实验适合学生的身心发展特点,符合其认知规律可以增强学生对数学学习的好奇和积极性,反之会损伤.以学生身边常见的物体现象作为实验对象,使学生有一种亲切感,感到数学并不神秘,并不遥远,就在身边,有利于调动学生的学习积极性和激发他们进行实验探究的兴趣.

(四)适度性原则

数学实验是对传统的教学活动的一种补充和辅助,而不是替换.它应当起到一个“画龙点睛”的作用.数学实验有其优势,但也有局限性,不可为了实验而实验.好的数学实验应选好题、选好点,侧重于对有较强抽象性概念生成问题、有较强战略性的探索活动以及令人质疑的数学结论进行数学实验.

2.3 数学实验在教学中的实践

著名数学教育家波利亚曾指出：“教师在课堂教学中讲什么当然重要,然而学生想什么、做什么却是千百倍地重要”,“在给定条件下应让学生们尽可能多地靠他们自己去发现、去探索”.下面结合具体案例的分析数学实验在课堂教学中的探索与实践.

(一)通过数学实验建立数学模型

在数学建模的过程中,不是直接用现成的知识教学生,而是根据充分利用实验手段和实验器材,设计一些开放性的探究问题,增加辅助环节,从而使学生亲历树学建构过程,指导学生动手算一算、画一画、量一量,去探究题目,光想不动手,往往不得入门,动手做,常会有启发.

案例测量硬币的厚度和质量(实验器材：五角、一元硬币若干,刻度尺、天平)

本节课是七下10.5用二元一次方程解决问题开头的数学实验室的活动.

师：五角硬币和一元硬币若干,你会提出怎样的问题?

生：有多少钱?有多厚?有多重?

师：你觉得可以如何解决?

生：目前无法解决,需要添加条件.

师：五角硬币和一元硬币一共6.5元,那么两种硬币分别有多少个?

生：设五角硬币有x个,一元硬币有y个,可以得到方程0.5x+y=6.5.

师：有多少种情况?答案是否唯一?

生：不唯一.

师：加一个条件：一共有10个,那么两种硬币分别有多少个?

生：设五角硬币有x个,一元硬币有y个,解决可用方程组就可以解决了.

师：如果无法确定硬币的总钱数与总个数,那么如何确定这两种硬币的个数?你觉得可以如何解决?

生：可以通过测量,尺子量出厚度,天平称出质量

五角硬币的总厚度+一元硬币的总厚度=总厚度

五角硬币的总质量+一元硬币的总质量=总质量

在前面的问题中学生发现两个未知数一个等量关系无法解决问题,两个未知数需要两个等量关系来解决,目前没有已知的量,但可以借助手边的工具来测量.在测量中学生会发现只测量一枚硬币会有误差,必须取多枚硬币取平均值,为了数据的准确多次测量取平均值,在学生动手操作的过程中,学生主动发现数据的问题,并提出,探索处理的方法,最终解决问题.

(二)通过数学实验概括数学知识

美国教育学家奥苏泊尔说过：“影响学生学习的重要因素是学生已经知道了什么”.因此,在课堂教学中,教师应当从学生已有的知识水平和经验出发,准确把握教学起点,合理设计课堂教学.同底数幂的除法的相关知识正是零指数幂教学的起点,学生只有在明晰了同底数幂的除法的前提下再来学习零指数幂,才能实现知识的迁移.因此设计以下的教学活动.

案例零指数幂(七下8.3)

活动一

提问：若m=n,a/=0,m、n为正整数,am÷an如何计算?能否运用前面所学的同底数幂相除的运算性质?

对于计算,学生会借助除法的意义进行计算,am÷an=am÷am=1.

学生思考：若运用已学同底数幂相除的运算性质计算,当m=n时,am÷an=am-n=a0,继而思考：a0是什么?等于几?猜想是不是a0=1?

提出这个切口较大的问题,由学生从已有的知识出发思考问题,从而发现问题,进而得出猜想,激发学生进一步的探究欲望.

活动二

(1)思考：一张纸对折1次是2层,对折2次是4层,对折3次是8层,对折4次是16层……,对折后纸的层数与对折的次数之间的关系可以表示成什么?若没有将纸对折,如何表示,纸张的层数又为多少?

(2)观察数轴上表示 24、23、22、21的点的位置是如何随着指数的变化而变化的?你有什么猜想?

图1

(3)由上面两个活动,你有什么发现?

(4)得到规定：a0=1(a/=0)即任何不等于0的数的0次幂等于1.

创设学生比较熟悉的可操作情境——“折纸”,使学生从中观察得出对折后纸的层数与对折的次数之间的关系中存在的规律,从而得出猜想.再借助数轴的几何直观,引导学生观察得出幂的值以及指数的变化规律,继而得出猜想.由两个实际的活动,让学生原有的幂的指数可以扩展到零指数幂,充分地体现了数学自身发展的轨迹,让学生从中感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法,有助于学生借助学习“零指数”所获得的经验,进一步尝试对负整数指数幂的意义做出合理的规定,发展了学生理性的精神.

(三)通过数学实验突破教学难点

案例证明三角形内角和(七下12.2)

学生小学时已经知道三角形的内角和是180°,根据小学经验他们知道可以通过通过操作实验.将三角形的角撕下,拼起来.但本节课是需要通过理论来证明三角形的内角和是180°,难点就在于如何去做辅助线.

于是借助撕纸实验找寻解题方法.

先撕下一个角,拼到另一个角的旁边.(图2)学生发现移动的角相等,而且形成了一组内错角,进而想到了：内错角相等,两直线平行.于是想到过一点作辅助线的方法(图3),来得到三角形内角和是180°.

图2

图3

接着有同学撕下第二个角,继续拼(图4),因此将刚刚辅助线延长即可(图5),

图4

图5

或者如(图6)(图7).

图6

图7

通过实验操作,我们发现实际操作中改变角的位置,在证明过程中只要添加平行线就可以达到相同作用.实验操作为我们解决本节课的难点找到突破口,为解决一些几何问题提供了方便.

(四)通过数学实验理解掌握数学思想方法

学习数学不仅要掌握数学的基础知识、基本技能最为关键的还要理解并掌握隐藏在数学知识背后的数学思想方法.这就需要教师在数学教学过程中,把握教学时机,利用数学知识作为载体“润物细无声”地向学生渗透数学思想方法而在数学实验教学中,更形象直观地帮助学生理解数学知识学习过程中所隐含的数学思想方法,从而提高学生的数学素养.

案例挤三十

两人按自然数的顺序轮流从1报到30,要求每人每次报1个数或者2个数,谁报30,谁即输.如：甲说“1、2”,乙可以接着说“3”或“3、4”……轮到谁说“30”,即为输.

师：玩游戏的时候,赢的人轻轻地刮输的人鼻子一下.

两人一组,操作若干次.

师：有赢次数多的同学吗?

师：那就从中挑几位同学,看看谁是“王中王”!

师：我们再来看看有没有“常胜将军”!

师：谁和老师玩玩这个游戏?(有意识地要求“女士优先”,让老师先说,轻松地和学生玩,并输者被刮鼻子.)

问题：你能找到取胜的办法吗?

学生分析,通过多次的操作,发现如果抢到“26”,就可以赢.引导学生分析,找其中必胜的策略.在分析的过程中,探索出经过逆推可以找到这个游戏的必胜策略——先说者先说“1、2”,接着报的数字个数是：“3-后报者报的数字个数”.从而揭示本次活动的主题“逆推(逆向思维)”.

美国马尔瓦-柯林斯说过“教学的本质就是“用一个思想点燃另一个思想”.抛出问题后,教师放手让学生经历动手、动口、动脑的体验过程,经历尝试与思考、借鉴和吸纳的过程,最终会在缓慢的多次的过滤中从无序的乱象走向有序的规则.

3、研究中的思考

与物理、化学、生物等实验性学科不同,我们不可能也不必完全依赖于实验方法来学习数学,但数学实验方法在数学教学领域仍然具有重要的补充性、独特优势性,甚至是不可替代性.在传统的数学教学中,学生很难真正参与到数学知识的发现和产生的过程中去,只能被动的接收、记忆并消化相应的知识,无法领悟到在知识发现和产生的过程中所蕴含的数学思想方法.而在数学实验教学中,学生主动的亲身经历了数学知识的发现和产生的过程,并通过探究验证了数学结论的真理性.利用数学实验趣味性,可以有效调动学生的积极性,使其在学习过程中获得成就感与满足感,强化了对知识记忆牢固度.更重要的是,通过数学实验培养理解掌握数学思想方法的能力,乃至对各类问题的独立思考能力和动手分析解决能力,恰恰可以弥补现阶段我国学生缺乏创新及实践能力的短板,对提高其综合素质不无裨益.总之,数学实验必将在今后的教学活动中逐步占据更加重要的地位,我将通过不断的探索与实践,努力掌握实验教学相关要领,提升自己在此方面的教学水平.