有价值的解题线索藏哪儿了?

福建省德化第一中学(362500) 吴志鹏

广东省汕头市澄海华侨中学(515800) 潘敬贞

线索是什么? 警察办案就是要找案犯留在现场的蛛丝马迹，这蛛丝马迹就是破案线索；类比数学的解题，那么线索又是什么呢? 线索就是命题者留下的让学生有线可寻的解题提示，当然命题者在题目中提供的线索并不单一，时而简单时而复杂，那么怎样的线索才是有价值的? 这就需要学生在解题时擦亮慧眼、抽丝剥茧.数学有价值的解题线索就隐藏在题目的字里行间，然而在这方寸之间较量的却是命题者与解题者的智慧.本文就解题线索几种常见的隐藏方式作整理，以供读者参考.

一、结构相近有玄机

类似的结构，相似的“面孔”，很快就能让我们联想起已学过的某一定义、公式、函数等，由此我们可对题目所给的式子进行改造，转化为熟悉的知识进行求解.“类似的结构”在解题中为我们提供了有价值线索的来源.

例1函数的图像如下图所示，下面数值排列正确的是( )

A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)-f(2)

B.0＜f′(3)＜f(3)-f(2)＜f′(2)

C.0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)-f(2)

D.0＜f(3)-f(2)＜f′(2)＜f′(3)

图1

分析初见本题，会让人有一种“摸不着头脑”的感觉，很难将f′(2)、f′(3)与f(3)-f(2)联系起来.但如果从导数的定义入手我们就可以见到熟悉的结构并获得解题线索.

例2已知则a、b、c的大小关系是____.

分析由a、b、c的结构特征可以联想到函数(x＞0)，此时可以通过求解函数的导数来判断其单调性，再利用单调性进行大小比较就可以了.

二、纵横联系隐玄机

解题时我们常常通过分析问题所包含的知识，通过知识间的纵横联系：如条件间横向的知识联系，条件与结论间纵向的知识联系等来寻找有价值的解题线索，使得解题思路“豁然开朗”.

1.条件与条件之间的知识联系

例3在△ABC中，∠B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为____.

分析从题目的条件中我们发现了边角的关系，且为对边、对角的关系，利用这个横向的知识联系，我们找到了使用正弦定理来解决问题的有效线索.在△ABC中，即所以AB=2 sinC，BC=2 sinA，所以AB+2BC=2 sinC+4 sinA=2 sin(120° -A)+4 sinA=cosA+5 sinA=所以AB+2BC的最大值为

2.条件与结论之间的知识联系

例4设Sn是等差数列{an}的前n项和，若则=____.

分析本题所给的条件与an相关，而所求结论则与Sn相关，分析条件与结论之间纵向的知识联系，我们找到了用an与Sn的联系来解决问题的合理线索.

解

三、数字设计现玄机

数字是构成数学问题的重要元素，命题者往往会利用特殊的数字来设置问题，所以我们要细心的观察、大胆猜想，寻找数字之间可能出现的联系，以期找到有价值的解题线索.这些充满智慧的数字给我们设置了一扇扇的“窗”，打开之后便是一道道美丽的“风景”.

例5已知数列{an}的首项为a1=1，且an+1=(n=1,2,3,···)，求a2018的值.

分析本题已知的是数列中a1的值，要求的是a2018的值，下标数字的跨度比较大，如何实现两个数字的对接，选择采用求数列的通项的方法，或是采用归纳推理，或是通过求数列的周期来实现对接都有可能.数字的变化情况就为我们的解题寻找到了三条常见而又有用的线索.

解法一当n=1 时，a1=1； 当n=2 时，当n=3 时，当n=4时，由此我们可归纳猜想出数列的通项公式为所以

法二由得所以是等差数列.可求得所以a2018=

例6已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，若求f(2015)的值.

分析同上述思路一样为了实现两个跨度较大数字的对接，我们可求函数的周期，再利用周期求函数值.

解由条件可知所以f(x)=f(x-8)，所以函数的周期为8.所以f(2015)=f(8×251+7)=f(7)=f(-1)=

例7求证：

分析把不等式两边的数字进行对比，不难发现数字的设计上存在一定的玄机：左边各式的分母相同，分子是从1 到2017 的一个等差数列.观察这个式子我们可以知道：1+2+3+···+2017==1009×2017，所以所以对比不等式两边的项数可猜想：由上述结构我们可证：x ∈(0,1)，sinx＜x即可.

四、项数比较含玄机

有时式子的项数也隐藏着某些解题的信息，通过项数的比较，感知式子结构的变化，以便我们能够较好的选择解决问题的思路、方法.

例8定义在(-1,1)上的函数f(x)满足：①对任意x,y ∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0.证明：

分析本题易证函数f(x)是定义域内的奇函数且单调递减，从本题要证明的不等式左右两边的项数可知：左边有n项，而右边只有一项，可猜想左边的式子能够通过求和或是裂项相消等办法将项数合并，显然，通过求和的方法解决难度较大，那么只能采用裂项相消求和再证明，项数的比较为本问题的解决指明了方向.依所给式子裂项如下：再求和(过程从略).

例9a,b,c为不全相等的正数，且abc=1，求证：

分析将abc=1 代入不等式的左边可得：bc+ac+ab＞观察式子两边的项数知：左右两边都是三项，若能证明不等式左边的每一项均大于右边相对应的项，问题就能迎刃而解，可结论是否定的.回顾基本不等式a,b ∈R+，左边的项数是右边的两倍，如此只要将不等式左边的项数变为右边的两倍，就可通过基本不等式加以证明.

证明因为abc=1，要证：只需证：即证：2(bc+ac+ab)＞即证：(ac+ab)+(bc+ab)+(bc+ac)＞因为a、b、c为不全相等的正数，所以且上述三式不能同时取得等号.所以成立.所以原命题成立.

五、形似解法有玄机

数学中有许多“形似”的问题，对于这些结构相似，又存在明显差异的问题，我们有时也可以尝试用解决“原型”的方法去求解与其“形似”的问题，也许能够收到良好的解题效果.

例10求函数的值域?

分析型如函数值域的求法，我们比较熟悉，可用分离常数的法求解，其值域为{那么题中所给的式子与之“形似”，但又有差异，可否迁移其解题方案或结论呢? 结果是：解题方案可以迁移，结论不可“复制”.

解因为x2+1 ≥1，所以所以所以函数的值域为{y|-1＜y≤1}.

例11(2010 全国卷I 第10 题)已知函数f(x)=lg|x|，若0＜a＜b且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是( )

分析由f(a)=f(b)得lg|a|=lg|b|，又因为0＜a＜b，所以所以0＜a＜1＜b且ab=1.要求的是a+2b的取值范围.根据题目的式子的结构特征我们可类比线性规划：若x、y满足求z=x+2y的取值范围.由于类比后我们观察得知，其可行域并不是一个区域而是曲线xy=1(0＜x＜1)的一段，对于这样的一种可行域，尝试采用线性规划的方法进行求解也是可行的.

解分析线性目标函数可得而此时即在(0,1)单调递减，所以过点(1,1)时z的值最小为3，但等号取不到.所以a+2b的取值范围为(3,+∞)，选择C.

结语分析问题的目的是为寻找有价值的解题线索(解题思路的突破口)，有价值的解题线索是顺利解决问题的前提，这个过程充满了与命题者智慧的较量.平时我们只有勤于思考、勤于实践、善于观察总结，方可从试题相近的结构、题目涉及知识的纵横联系、题干中数字的设计、式子的项数以及形似的解法等特征中快速找到有价值的解题线索，获得解题思路.