放飞小学生合理数学猜想

余虹 杨震

【摘 要】教师应依据小学生的学习特点和思维能力，致力培养学生合情推理与归纳类比能力。在教师合理引导下进行数学猜想，可以提升学生发现与解决问题的能力。通过“两数之积的最值问题”和“烙饼问题”两个教学案例，阐述数学猜想对小学生数学学习的助推作用，以及一般性证明对教學模式选择的指导性作用。

【关键词】小学生；合理；数学猜想

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）05-0294-02

《义务教育数学课程标准》中指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式”。合情推理能力的培养亦是义务教育数学课程的核心目标之一，对于培养学生的探索能力和创新精神有着重要意义。

一、合理猜想，放飞学生的数学思维能力

能够进行合情推理（即猜想）既是进行数学探究的必要条件，也是学生进入社会后能够进行科学思维的必然要求。归纳与类比也属于猜想，学生可以通过猜想打开思想的“闸门”。

小学生的年龄较小，智力发展尚未成熟，认知水平多处于由具体形象思维向逻辑抽象思维的过渡阶段，难以从整体角度对数学知识进行分析与论证。他们处于系统化数学学习的初始阶段，有着纯真丰富的想象力。如果引导学生善于进行猜想，则有朝一日他们会在思维的“地基”上搭建出极富特色的“自由王国”。

在教学实践中，教师要找准知识的产生点、发展点、变化点，培养学生合情猜想能力。

二、两个案例，谈培养学生合理猜想

爱因斯坦说“提出一个问题比解决一个问题更重要”，数学不是单纯的解题，也不是单一的证明，它应该包含猜想，而且往往先有猜想然后才有证明。

案例1 四年级的学生拿着这样一道题“用9、2、5、3、0五张数学卡片，如何组成一道三位数乘两位数的试题，使乘积尽可能大？”来询问，说没有解题思路。

当学生对某类问题无从下手时，就需要在教师引导下，先猜想，再推理论证，从而解决问题。

1.“顺向式”猜想。

给定五个数字，组成一个三位数和一个两位数，使两数之积最大。满足“数字大者在高位”这一必要条件后，问题症结在于“这两数之差的大小变化会导致其乘积大小发生变化”。

引导学生通过测量猜想“相同周长的长方形中，正方形面积（相邻两边之积）最大”，从而类比猜想：这两个数之差最小时乘积最大，即92×530=48760。事实上，亦可类比联想到均值不等式；或如上图，通过观察二次函数图像y=x（b-x）其中y>0，b>0，当x与（b-x）越接近y值越大，当x=b-x=b2时，存在最大值，亦似可印证猜想。

上例问题，由于给定的数字较少，学生可利用枚举法验证猜想。

上述问题加以推广：给定n个数字，n≥3且n∈Z（其中有i个零，i∈N，i≤n-2），将这n个数字组成两个数，使其乘积最大。教师在论证之后，再选择合理教学模式。

利用化归思想结合构造法论证上述一般性问题：

令0

an-ian-i-1…a1表示（n-i）位数。

①设n-i=3，则0

显然a2a1·a3>a3a1·a2

故其乘积最大为a2a1·a3·10i

②设n-i=4，则0

利用结论①得a3a2·a4>a4a2·a3

因a3a2·a4a1=a3a2·a40+a3a2·a1

a3a2a1·a4=a3a20·a4+a1·a4

可知a3a2·a4a1>a3a2a1·a4

故两数之积最大为a3a2·a4a1·10i。

以此类推，利用化归思想得：

当n-i为偶数时，an-ian-i-3an-i-5…a1·an-i-1an-i-2an-i-4…a2·10i

乘积最大。

当n-i为奇数时，an-ian-i-3an-i-5…a2·an-i-1an-i-2an-i-4…a1·10i

乘积最大。

综上所述，猜想成立。

2.“逆向式”猜想。

引导学生将求最大值问题变式为求最小值问题：用9、2、5、3、0五张数学卡片，组成一个三位数和一个两位数，使这两数之积最小？

给定五个数字，要组成一个三位数和一个两位数，使其乘积最小，必要条件为“数字小者放在高位且最高位不为零”。由所组成的两个数之差最小时乘积最大，逆向猜想两个数之差最大时乘积最小，即20×359=7180。

学生通过枚举法进行验证，教师做一般性论证如下：

①有4个数字（其中有1个“0”），将这4个数字组成二个两位数，使其乘积最小。

令0

易知a10·a2a3

②有5个数字（其中有1个“0”），将这5个数字组成一个两位数和一个三位数，使其乘积最小。

令0

化归为问题①，推知a10·a2a3a4

故其乘积最小为：a10·a2a3a4

由类似方法可解决：给定n个数字，其中含i个“0”（i≤n-2，n≥2，i∈N），将这n个数字组成一个a位数与一个b位数（a、b>0，a、b∈Z），求两数之积的最小值。可知两数之差最大时，这两数之积最小。

另有：给定n个数字，n≥2，将这n个数字组成若干个数，若给定的数字中有“0”，则所得若干个数之积最小值为零；若给定的数字中不含“0”，则令0

a1a2…an-1an>a1a2…an-10>a1a2…an-1·an

推知所得若干个数之积最小值为a1·a2·a3…an。

案例2 烙饼问题：要用锅烙3张饼，每次最多烙2張饼，如何安排才能让烙饼的次数最少？

引导学生猜想3张饼共6面，每次最多烙两面，故烙饼次数最少为6÷2=3次。学生利用自制的小圆片代替烙饼的正反两面，动手演示烙饼过程，验证猜想是否正确。

对以上问题进行拓展：烙n（n>1，n∈Z）个饼，每次烙两面，至少要烙几次？

学生合情推理：烙n个饼，共烙2n个面，每次烙两面，至少烙2n÷2=n次

在此基础上进一步拓展：若烙n个饼，每次最多烙m（n，m∈z+）个面，则至少烙多少次？

学生解决具体问题，如烙10个饼，每次烙3面，至少烙多少次？学生通过计算20÷3=6……2猜想至少烙7次。并通过模拟操作验证，体会化归思想。

教师通过合情推理得出以下一般性结论并加以证明，以供科学引导学生之用。

若烙n个饼，共2n个面，每次最多烙m（n，m∈z+）个面，则烙的最少次数为

先证：当m

①当2b

化归为烙（m+b）个饼的问题，过程如下：

I.烙m个饼

II.将烙过一面的m个饼中取出b个，将剩下的（m-b）个翻面，补上b个末烙过的饼。

III.取出已烙好的（m-b）饼

IV.将第一次取出的b个饼放入锅中，同时将第II步补上的b个饼翻面，则烙完所有的饼。

由此可知，烙（m+b）个饼至少需3次。

得烙n个饼，每次最多烙m个面，次数最少为：

2（a-1）+3=2a+1，即[2nm]+1。

②当2b>m时，2n=（2a+1）m+（2b-m）

化归为烙（m+b）个饼的问题，过程如下：

I.烙m个饼

II.将烙过一面的m个饼中取出b个，将剩下的（m-b）个翻面，补上b个末烙过的饼。

III.取出已烙好的（m-b）饼

IV.将第一次取出的b个饼中的（m-b）个放入锅中，同时将第II步中补上的b个饼翻面。

V.将剩下的（2b-m）个饼烙完。

由此可知，烙（m+b）个饼至少需4次。

得烙n个饼，每次最多烙m个面，次数最少为：

2（a-1）+4=（2a+1）+1，即[2nm]+1。

再证：当m

b∈N，b

①当m≠2且m为奇数时，m整除n，所烙次数最少为2nm

当m≠2且m为偶数时，由2n=2am+2b，知m整除（2am+2b），得m整除2b，因0<2bm<2，故2bm=1，即m=2b。化归为烙（m+b）个饼的问题，易

知烙（m+b）个饼至少3次，得所烙次数最少为2（n-m-b）m+3=2nm。

②当m=2且n为奇数时：

知b=1，化归为烙三个饼问题，烙三个饼次数最少为3。易知烙n个饼，每次最多烙2个面，所烙次数最少为2（n-3）2+3=n，即2nm。

当m=2且n为偶数时：

易知烙n个饼，每次最多烙2个面，2整除n，所烙次数最少为2n2=n，即2nm。

由上所述，命题成立。

以上两个数学问题看似完全不同，实际上都用到猜想与化归，可按相同的模式加以解决。教师应该对这些问题作为相同的思维方法在不同情境中的应用来看待，从而启发学生去发现各类问题间的内在联系，从而高效地建构知识网络。

数学需要严格地推理，更需要大胆地猜想。在小学数学教学中，要放飞学生合理的数学猜想。

参考文献

[1]（美）波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，2001.5.

[2]（美）伍德沃克.教育心理学[M].南京：江苏教育出版社，2005.4.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.