拓展思路，简化解法

张曼竹

【摘 要】圆锥曲线综合题是高考综合题的命题热点，常规方法解题一般都会伴随着复杂的推理和运算。如何拓展思路，简化过程，提高解题速度和准确率是摆在广大师生面前的一个难题。本文通过一些例题，简单地说明如何简化圆锥曲线综合题的求解过程。从而提高学生综合分析问题，解决问题，以及灵活运用知识等能力。

【关键词】圆锥曲线；综合题；简化；方法

【中图分类号】G610 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）05-0262-02

圆锥曲线是高考综合题的命题热点，是获得高分的关键。圆锥曲线的综合问题，一般都是用函数与方程的思想来解题，还多涉及到不等式、三角函数、平面几何、参数方程等多种知识的相互渗透。在教学中，通过解决圆锥曲线综合问题，可以提高学生综合分析问题，解决问题的能力，也有助于学生思维能力的提高。然而，圆锥曲线综合问题综合性强，运算量大，代数推理要求高，如果不根据具体问题的特点，合理解题，将带来比较复杂的推理和运算。我们应该在掌握常规方法的基础上，不断探索，优化知识组合，拓展思路，简化解题过程，减少运算量，提高解题速度和准确率。

那么，怎样才能做到合理简化，突破难点呢？一般来说，可以采用以下几种方法：定义法、辅助圆法、点差法、参数法等；下面通过一些实例，简单说明如何简化圆锥曲线综合问题的解题过程。

一、定义法——利用圆锥曲线的定义及其特征量

圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，圆锥曲线的特征量都有明确的几何意义，它们之间存在在一些基本关系，如椭圆中的a，b，c，e中a2=b2+c2，e=ca等；这些特征量也是曲线区别于另一种曲线的标志。用定义和特征量解题是一种重要的基本方法，如在解决圆锥曲线上的点与焦点连线（焦半径）的问题，或题目中出现“离心率”、“焦点”、“准线”这样的条件时，及时地返回定义，分析特征量的关系，往往会收到事半功倍之效果。如：

例一、设F1，F2是双曲线x2-y2=4的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引角F1QF2的平分线的垂线，

垂足为M，求点M的轨迹方程。

这个问题是轨迹问题，一般的思路是：从角平分线以及垂直关系入手，采用直接法或交轨迹法来求出轨迹方程；但这样做会有大量的计算。如果从定义入手，结合平面几何的一些性质，完全可以很快解决问题。

如图，延长F1M交QF2（或延长线）于K，由MQ平分∠F1QF2，且MQ垂直F1M，可得|OF1|=|QK|，|F1M|=|MK|；O是F1F2的中点，OM是△F1F2K的中位线，|OM|=12|F2K|，而|F2K|=||QK|-|QF2||=||QF1|-|QF2||，由双曲线的定义||QF1|-|QF2||=2a，本题中a=2，所以|OM|=12|F2K|=a=2，即点M到点O的距离为定值2，其轨迹是圆，方程为x2+y2=4。

二、辅助圆法——利用圆的几何性质和圆锥曲线的对称性

圆与其他圆锥曲线相关的两个重要性质是：（1）圆上任意一点到圆心的距离等于半径，因此，若问题中涉及到定点、定长等相关条件，可构造辅助圆；（2）直径所对的圆周角是直角，当碰到一些关于圆锥曲线上的距离或垂直（直角）的问题时，可以构造辅助圆，借助圆的性质来解决问题。如：

例二、对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a， 0） 都满足PQ ≥ a， 则a的取值范围是

构造一个以点P（a， 0）为圆心， a为半径的圆， 其方程为（x-a）2+y2=a2设点Q的坐标为（x0，y0） ， 因为PQ ≥ a，所以点Q在圆上或圆外， 则有（x0-a）2+y02≥a20，联立消去x0可得a≤y208+2，而（y208+2）min =2故a≤2

例三、椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点， 当∠F1PF2为钝角时， 点P横坐标的取值范围是

由已知得c=5，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5， 因为∠F1PF2为钝角， 所以点P （x0， y0） 在圆x2+y2=5，内，故x20+y20<5，联立椭圆方程消去y0解得-355

例四、已知点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）短轴上的两个顶点，在椭圆上所有的点到点A的距离中，|AB|是最大的，求椭圆的离心率e的取值范围。

这个问题无论是用函数的方法还是用三角的方法来解决都是比较繁琐的。解题的关键要从“|AB|是最大的”入手，也就是椭圆中其它的點到点A的距离都比|AB|小，我们以点A为圆心，以|AB|为半径作一个圆，则椭圆上除了点B之外，其它所有的点都在圆内，圆的方程是：x2+（y-b）2=4b2，也就是椭圆与圆有且只有一个公共点B；把圆的方程代入、化简，得到关于y的一元二次方程：

（a2-b2）y2+2b3y+b2（3b3-a2）=0，即这个关于y的方程在区间[-b，b）上

有且只有一个实根y=-b；解方程，得到：y1=-b，y2=b（a2-3b2）a2-b2

，这时，只须y2≥b或y2≤-b，就可以使方程在区间[-b，b）上有唯一的根y=-b，由y2≥b无解；由y2≤-b，得到：b2≥12a2

，根据特征量的关系，可得：c2≤12a2，即可得椭圆的离心率e的取值范围是（0，22。这个过程，看似复杂，其实比其它任何解法都简单得多。

三、点差法——利用“设点作差”来构造圆锥曲线弦的中点和斜率的关系

研究直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容，更是解析几何的难点，对涉及直线和圆锥曲线相交的问题，一般的解法是：由直线方程与圆锥曲线方程组成二元二次方程组，通过消元后，利用一元二次方程的判别式，韦达定理等方法来解决问题。对于这一类问题，可利用“点差法”，通过寻找圆锥曲线弦的中点和斜率关系来解决问题是比较快捷的。

“点差法”的关键在“设点作差”，设直线与圆锥曲线相交于P（x1，y1）、Q（x1，y2）两点；代入称作圆锥曲线的方程再相减可得弦的中点和斜率的关系。例如，对椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）“设点作差”，则有k=-b2x0a2y0（（x0，y0）为PQ中点，下同）；对双曲线x2a2-y2b2=1 “设点作差”，则有k=b2x0a2y0；对抛物线y2=2px “设点作差”则有k=py0，……等等。当问题出现“交点”、“中点”、“中垂线”、“对称”这些条件时，运用“点差法”，往往可化繁为简，化难为易。如：

例五、过抛物线y2=2px焦点F的一条直线与该抛物线交于P、Q两点，线段PQ的中垂线MN交抛物线的对称轴于点N。求证：|FN|=12|PQ|

这个题目有两个重要条件：（1）抛物线的焦点；（2）线段的中垂线，所以可以从这两个条件进行分析。

设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），

由抛物线的定义可得：|PQ|=x1+x2+p=2x0+p，

把P（x1，y1）、Q（x2，y2）代入y2=2px，两式相减，得到kpq=py0，

因为MN⊥PQ，所以kMN=-y0p，

中垂线MN的直线方程是yy0=-y0p（x-x0），抛物线的对称轴是 x轴，令y=0，则x=x0+p，这是N点的横坐标，|FN|=|x0+p-p2|=x0+p，而|PQ|=2x0+p，|FN|=12|PQ|，命题成立。

此外还有参数法，不过现行教材参数方程的内容为选做题部分，此方法不在此作详细探讨。

以上所提及的几种方法，是解决圆锥曲线的综合问题时，如何优化知识组合，拓展思路，简化解法的一些基本方法。我们在教学实践中要善于思考、归纳总结、摸清规律，从各种解决问题的方法中寻找出更快、更简的方法，使学生摆脱繁杂运算，形成自己的思路，提高兴趣，从而培养学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。