初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨

陶明伟

摘 要：分类讨论是在初中阶段数学解题教学中广泛运用的教学策略。旨在根据不同的题型，采取恰到好处的最优解法，提升学生的解题技巧。针对分类讨论思想在初中数学教学中的应用，本文结合实例以及理论研究成果展开探讨。

关键词：初中数学 分类讨论 解题 教学策略

一、初中数学分类讨论思想的原则

分类讨论思想在初中数学解题的运用过程中，教师和学生应当遵循两个标准原则。

首先是同一性与相称性原则。这一原则要求分类标准保持一致，比如三角形的分类，按边分类，可分为：等腰三角形（有且只有有两条边相等）、等边三角形（三条边都相等）；不等边三角形（三条边都不相等）；按角分类则可分为：锐角三角形（三个内角都是锐角）；直角三角形（有一个内角为直角）、钝角三角形（有一个内角为钝角）；这样的分类符合同一性原则。倘若有人将三角形分为：等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，则违反了同一性原则。是分类思想的错误运用。相称性原则则是要求分类后子项的并集应当与母项外延相称。[1]

另一原则是互斥性与多层次性原则。互斥性原则意思是，经过分类，各个子项之间应该互相独立，不存在交集，如三角形按角划分时，“没有一个三角形既是钝角三角形也是锐角三角形”。多层次性原则是指，在初中数学解题中，会遇到一些分类比较复杂的条件。此时，教师和学生可以使用“二分法”，把需要讨论的对象进行逐层分类，分成具有层次性的互相独立互相矛盾的概念，从而避免逻辑性的错误。[2]

二、初中数学如何应用分类讨论思想

1.分类讨论思想在代数的运用

代数问题占了初中数学问题的半壁江山，讨论的是数学问题中的数量关系。在解决代数问题过程中应用分类讨论思想，可以避免考虑问题的不全面导致的解题错误。以下例子分两种场景探讨分类讨论思想在初中数学中的运用。

例1（含绝对值的方程问题）：|5-x|+|x+2|=8，求x；

当方程式中出现绝对值时，绝对值内的结果可能有三种情况：负数、正数、零，可以按照这三种情况进行分类讨论。

在本例子中，绝对值|5-x|中的对象：5-x可能有三种情况：5-x<0；5-x>0；5-x=0；根据这三种情况展开，例子中的方程式等价于：即：x>5；x<5；x=5，那么：

当x>5时，方程式等价于：-5+x+x+2=8，解得x=5.5；

当x<5时，方程式等价于：5-x+x+2=8，等式不成立，无解；

当x=5时，方程式等价于：5-5+5+2=8，等式不成立，无解；

所以可以得出原方程的解为x=5.5

例2（函数问题）：已知函数y=kx-k+a为一次函数，当1≦x≦3时，-2≦y≦4，求ka的值。

根据题干，函数等价于：y=k（x-1）+a；0≦x-1≦2；k≠0

运用分类讨论思想，k有两种情形：

情形1： k>0，y随着（x-1）的增大而单调递增，即随着x的增大而增大，因此：

当x-1=0，即x=1时，y=-2

当x-1=2，即x=3时，y=4

代入函数，得出：a=-2，且2k+a=4

解得：k=3，a=-2，ka=-6；

情形2：k<0，y随着（x-1）的增大而单调递减，即随着x的增大而减小，因此：

当x-1=0，即x=1时，y=4

当x-1=2，即x=3时，y=-2

代入函數，得出：a=4，且2k+a=-2

解得：k=-3，a=4，ka=-12

结合两种情形，ka=-6或ka=-12

可见，在代数问题中运用分类讨论的思想，可以避免解题出现漏解、错解的情况。

2.分类讨论思想在几何中的运用

几何问题是初中数学问题中频繁出现的题型。在几何问题的解决中，也时常可以运用分类讨论的思想。以下例子讨论分类讨论思想在几何问题解题中的运用。

例3（等腰三角形问题）：已知等腰三角形的两边长分别为：a=3，b=4，求三角形的周长。

在这个例子中，题干上并没有说明a和b哪一条是底边，哪一条是腰，所以应用分类讨论思想，可以有两种情形：

情形1：a为底边，b为腰

则：周长=a+2b=3+2*4=11

情形2：a为腰，b为底边

则：周长=2a+b=2*3+4=10

所以这个问题的解为：周长等于11或10

例4（角的问题）：在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

运用分类讨论思想，可分两种情形：

情形1：射线OC在∠AOB内：画图可得∠MON=30°

情形2：射线OC在∠AOB外：画图可得∠MON=30°

总结：两种情形下，均有 ∠MON=30°。在运用分类讨论方法时，总结也很重要。

三、初中数学解题中运用分类讨论思想的意义

1.提高思维严谨性和逻辑性

初中阶段是学生成长中的一个关键阶段，在这一阶段养成良好的缜密的思维逻辑习惯，对于以后的学习、迈入社会后的工作都有重大意义。综合以上的例子可见，分类讨论思想，是一种逻辑严谨，有条理的解题方式。随着中小学生数学课程的难度提升，数学这一学科对于学生的思维逻辑有了越来越高的要求。学生在初中数学学习过程中，运用分类讨论思想，学习和解决遇到的各种类型的数学问题，可以在这一阶段获得成长，为将来难度更高的学习奠定良好的基础。

2.培养良好的解题思路和习惯

很多学生数学成绩不佳，关键还在于没有掌握正确的学习方法论。在解题过程中，对题干不做全面的解读，没有层层解析题目中给出的条件和信息，以至于解题时，只抓住片面的信息，思路混乱，遗漏一些需要考虑的因素，掉进出题人的陷阱。分类讨论思想这一学习方法论，是学生和教师在解题时的重要武器，有了分类的意识，掌握了这一武器的正确使用方式，许多问题便能迎刃而解，避免了不该出现的疏忽、遗漏和错误。

结语

分类讨论的题型，是目前初中数学考试中高频率出现的热门题型。分类讨论思想是初中阶段数学问题解决时十分常用的一种数学解题思想，也是初中阶段数学教学的一个难点。初中教师在教学过程中要将分类讨论思想和运用分类讨论思想解题的方法渗透课堂，使学生对分类讨论思想形成深刻的认识，养成缜密的思维习惯。在运用分类讨论思想解题时，务必注意同一性、相称性、互斥性和多层次性原则，否则会导致分类讨论思想的误用。此外，分类讨论结束后也要注意总结。

参考文献

[1]纽曼曼.初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨[J].教育现代化，2016，3（08）：234-236.

[2]祁永前.初中数学分类讨论思想在解题中的应用体会[J].考试周刊，2013（75）：53-54.