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复合方程求根问题

2019-04-09肖婧宇

科教导刊·电子版 2019年1期
关键词:数形结合

肖婧宇

摘 要 复合函数是指自变量进过两次以上的映射,复合函数等于零求根的问题称为复合方程。复合方程是高考中的常见考点,需要按顺序求解两次,本来着重讨论该问题处理流程。

关键词 复合函数 复合方程 函数零点 数形结合

中图分类号:O151.2 文献标识码:A

1已知函数求根

例1:设R上的函数则关于的函数的零点个数为(D)

A.2 B.3 C.5 D.7

解;设,图像如图:

或1,如图: , 4个根;

,3个根。

分析:对于这样的题,先将换元,再解复合方程得到的可能值,最后画出图像,根据数形结合得到x的个数。

例2:定义域为R的函数若关于x的方程 + 有5个不同的实数解,则(B)。

A.2B.6 C.2或6 D.4或6

解:设,图像如图:

如圖可知:一个最多对应4个x,所以定然有2个,。因为不存在1个对应1个x的情况,所以一定是1个对应2个x,另一个对应3个x,因此有一个一定为4,代入得m=2或6。

m=2时,=1,=4 对应7个根,舍去;

m=6时,=4,=9成立。

分析:对于已知实数解个数的题,应先画出图像分析的个数及对应根的个数进行讨论。

例3:关于的方程,给出下列四个命题:

(1)存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;

(2)存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;

(3)存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;

(4)存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是(A)

A. 0 B. 1 C. 2 D.3

解:设

(1) ,t无解,x无解;(2) ,,x有4个解;

(3),

(1)k=0,,;

(2), ,x有8个解;

(3),,,, x有2个解。

分析:对于复合方程中的常数项未知的题,先根据讨论该未知量在不同取值范围内对应f(x)的范围或取值,再数形结合得到解的个数。

2已知函数图像求根

例:定义域和值域均为(常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的函数图像如图所示,给出下列4个命题:

(1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解;

(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解;

(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解;

(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

中正确的个数为(B)。

A.1 B.2 C.3 D.4

(1)设,如图:,,都为0。,, 在g(x)图像中画出各对应1个根,共3个根,(1)正确,(2)(3)(4)错误。

分析:对于这样的题,先观察复合函数为零时内层函数的取值范围,再在内层函数图像上作图观察根的个数。

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