不等式的探讨

贾萌琪

摘 要：不等式是数学上的一种几何不等式，它可以通过变换条件等方式，来实现不等式的成立。而对于不等式的加强可以在立体几何中通过改变基本条件，来实现不等式的成立，证明中采用了面积法等方法，均值不等式等定理，实现了利用初等数学的证明方法证明定理，简化了证明。使不等式在三棱锥中适用，实现了在立体空间内的应用，在对不等式的不断探索中学习到许多前人对这个不等式的加强，并为我对不等式的探索打开了新的世界。

关键词：不等式;面积法;均值不等式;三棱锥

一、不等式的证明

不等式是由数学家于1935年提出的，1937年，Louis Joel Mordell 和D.F. Barrow给出了这个不等式的证明，之后，后人又给出了许多更加简单的证明方法，而这个不等式是由和Louis JoelMordell这两位数学家的名字命名的。定理1。在一个三角形ABC的边上或内部有一点P，使P到三角形三边的距离为PD、PE、PF。则PA+PB+PC≥2（PD+PE+PF）。Louis Joel Mordell给出的证明方法，用到了相似三角形、基本不等式等数学知识，充分体现了在数学几何证明中利用定理的方法，此方法不仅提高证明的正确性，而且在很大程度上简化了数学几何证明。证：过三角形中的一点P作一条直B'C'，使B'交于直线AC上，C'交于直线AB上，使∠ABC等于∠AB'C'、∠ACB等于∠AC'B'。所以三角形ABC相似于三角形AB'C。所以相似三角形的相似比，且比值大于零。因为在三角形AB'C'中，三角形AB'P与三角形AC'P的面积相加等于三角形AB'C'的面积，所以AB'×PE+AC'×PF≤B'C'×AP（AP≥A到B'C'的距離）。由相似三角形同理可得AB×PE+AC×PF≤BC×AP，整理得AB×PE/BC+AC×PF/BC≤AP。① ;同理证得：AB×PD/AC+BC×PF/AC≤BP，②;AC×PD/AB+BC×PE/AB≤CP。③;将①②③式相加可得：PD（AB/AC+AC/AB）+PE（AB/BC+BC/AB）+PF（AC/BC+BC/AC）≤AP+BP+CP。因为由均值不等式可得 AB/AC+AC/AB≥2，AB/BC+BC/AB≥2，AC/BC+BC/AC≥2，所以 PA+PB+PC≥2（PD+PE+PF）。证明方法的提出，便证明了Erdos-Mordell不等式，此不等式有多种证明方法，后人围绕着这个不等式进行探索又给出了许多简单的证明方法，如：利用代数来进行证明，利用外接圆及托勒密定理等。而上述例子中，利用代数证明是使几何证明转化为代数证明，简化了证明，且是证明更易进行;而利用外接圆及托勒密定理，则是使用构造圆来使托勒密定理成立，使用其他定理来证明不等式，更加直观有效，上述证明方法使我在对不等式的探索中更进一步，也使几何证明方法更具多样化。

二、前人对不等式的加强

在上述基本证明的基础上，将某些条件改变或增减，这个不等式仍旧成立或是不成立，前人经过探索与证明，对这个不等式进行了推广与加强，并对前人的推广加以介绍：命题2不等式中若将P到AB、BC、AC三边的距离，改为P与三个顶点的连线间夹角的角平分线，PA+PB+PC≥2（PG+PH+PI）成立。证：将不等式的基本条件中的这一点P到三条边到的距离，改为由P出发，P连接三个顶点A 、B、C内形成的三个夹角的角平分线，分别交AB于I、交AC于H、交BC于G，设为图1。引用任意一个三角形ABC，AD为∠A的角平分线，D在直线BC上，设为图2。设PA=x、PB=y、PC=z。

由角平分线长公式得，图2中角平分线AD=[（2AB×AC）/（AB+AC） ]×cos（∠A/2），由以上式子得PG+PH+PI=[2yz/（y+z） ]×cos（∠BPC/2）+[2xz/（x+z）] ×cos（∠APC/2）+2xy /（x+y） ×cos（∠BPA/2）。令ab=x、bc=y、ac=z。由余弦定理得：xcosA+ycosB+zcosC≤xz/2y+yz/2x+xy/2z。由上式可得PG+PH+PI=[2yz/（y+z） ]×cos（∠BPC/2）+[2xz/（x+z）] ×cos（∠APC/2）+2xy /（x+y） ×cos（∠BPA/2）≤[x^2（y+z）]/（x+y）（x+z）+[y^2（z+x）]/（x+y）（y+z）+[z^2（x+y）]/（y+z）（z+x），再由公式得[x^2（y+z）]/（x+y）（x+z）+[y^2（z+x）]/（x+y）（y+z）+[z^2（x+y）]/（y+z）（z+x）={x+y+z-[xy（x-y）^2+yz（y-z）^2+zx（z-x）^2] /（x+y）（y+z）（z+x）}/2得PG+PH+PI=[2yz/（y+z）]×cos（∠BPC/2）+[2xz/（x+z）] ×cos（∠APC/2）+2xy /（x+y） ×cos（∠BPA/2）≤（x+y+z）/2，即 x+y+z≥2（PG+PH+PI），即PA+PB+PC≥2（PG+PH+PI）。所以将点P到三边的距离改为P与三个顶点的连线间夹角的角平分线，不等式成立。

上述对不等式的加强，改变了使不等式成立的一个基本条件，说明对证明条件适当改变仍可以使不等式成立，且上述的证明过程中使用到了角平分线长公式、余弦定理等定理，也使用到了式子的套用及转化，方法巧妙，使我在数学几何证明方法中学习到了更多多样性的方法，同样使不等式有了更广阔的适用范围，更好地运用到实际问题中。

三、不等式的实际应用

在实际问题中，不等式也有多种多样的适用性，在以下题目中涉及到了不等式及其证明。命题3 如图3，设点P为三角形ABC内一点，作三角形ABC的外接圆圆O，且点P为三角形ABC的内心，作AP、BP、CP的延长线，分别交圆O于D、E、F，连接PD、PE、PF。则 PD+PE+PF≥PA+PB+PC.。证：因为点P为三角形ABC的内心，所以由三角形内角的性质可得 PD=DC，所以同理可得 PD=BD，所以若作三角形BPC的外接圆，D为外心，则同理可得 E为三角形APC的外心，F为三角形APB的外心。则分别以D、E、F为圆心，PD、PE、PF为半径，绕三角形PBC、三角形PCA、三角形APB画圆，分别设为圆1、圆2、圆3，三个圆交于一点P，线段PC为圆1和圆2的公共弦，线段PA为圆2和圆3的公共弦，线段PB为圆3和圆1的公共弦。所以 DE垂直平分PC，EF垂直平分PA，FD垂直平分PB。在三角形DEF中，由不等式得：PD+PE+PF≥PA+PB+PC。