一题多向探究高效提升能力

2019-04-04许银伙

数理化解题研究 2019年10期

关键词：换元最值导数

许银伙

(福建省泉州外国语中学 362000)

一、例题

图1

二、解法与分析

由已知得：△ABC≅△AB1C1，∴B1C1=6，AB1=2AC1，设AC1=b，则AB1=2b.

分析一求△AB1C1边B1C1的高h的问题，可以联系△AB1C1的面积公式，因此引入两边的夹角作为函数的变量，探求高h与引入变量的函数式，利用函数知识解决.

评注1. 针对12sinθ+4hcosθ=5h，引入辅助角利用化一公式，即逆用两角和或差的正余弦函数公式解决，是求三角函数最值的常用方法.2.求最值一定要验证最值可以取得.3.本题解答也可以利用△ABC≅△AB1C1化为求△ABC边BC的高.

分析二方法一针对12sinθ+4hcosθ=5h，考虑到 cos2θ+sin2θ=1，也可以通过换元，转化成直线与圆的位置关系来解决.

方法二(接方法一)令u=cosθ，v=sinθ，得u2+v2=1且12v+4hu=5h，

评注1.换元后应注意新变量的取值范围，利用不等式获得最值必须验证取等号.

2.转化为几何问题，应充分利用几何性质，以简化运算.

分析三针对12sinθ+4hcosθ=5h，还可以考虑运用三角函数的万能公式进行换元，把三角函数问题转化成代数问题解决.

评注本方法通过换元，化三角问题为代数的函数问题，利用基本不等式解决.

分析四针对分式函数，分子分母最高次数是两次的整式，除了利用基本不等式求最值，还可以转化成一元二次方程有解的条件解决.

评注利用一元二次方程的判别式大于或等于0求最值或值域是常用方法，不可忽略.

分析五在实际问题中，所得变量往往需要限制范围，把方程解的范围先纳入解答的思考中，即可获得更加有深度的解答.

评注本方法与上一种方法类似，只是研究得更深入一些，思维层次更高一些，关注到方程解的范围，在利用方程求参数范围时一定要这样思考.

分析六导数是解决函数最值的常用工具，运用导数可以很方便获得函数的单调区间，从而求出极值和最值.

评注本方法由导数推得函数的单调性，是比较容易想到的思路，但运算量较大，且需要用到三角函数的单调性，还是有一定难度的.

分析七建立适当的直角坐标系，通过几何条件，可以获得动点的轨迹情况，从而直观地求出最值.

图2

化简得：(x-5)2+y2=16，所以点A在以点M(5,0)为圆心，4为半径的圆上(去除与x轴的交点).因为圆心M(5,0)在直线B1C1上，所以点A到直线B1C1距离最大值是圆的半径4，即得所求最大值为4.

评注由动点到两个定点的距离之比是不等于1的非零常数，其轨迹是阿波罗尼斯圆，通过建立坐标系，利用圆的性质可以快速且直观地解决问题.

数学知识并不是孤立存在，它们相互联系，相互促进，因此数学问题的解决可以从不同的角度，用不同的知识加以分析，加以探究，从而寻找出精彩各异解决方法.但因为对已知条件和问题本质的把握深度不同，解答的简繁程度也会有较大差异，经常对问题进行多方探究，无疑是自我磨练，提高数学能力的秘诀.

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