数学辅助角公式在物理解题中的应用三例

饶华东 肖巧玲

(1.福建省漳州第一中学 363000；2.福建省漳州市第二中学 363000)

物理解题过程常用到数学公式，如等差(等比)数列求和公式、二倍角公式、均值不等式、辅助角公式等.运用数学知识解决物理问题的方法，往往容易被学生所忽视.笔者在高三复习课上特别花了一节课时间，讲述了数学辅助角公式在物理解题中的应用，精选的三道例题分别体现了辅助角公式在解物理题时的不同作用.

一、辅助角公式用于物理量变化趋势的判定

A.始终不变 B.先变大后变小

C.一直变大 D.先变小后变大

当0°≤θ<30°时，随着θ的增大，sin(θ+φ)增大，力F在减小；

当θ=30°时，sin(θ+φ)=1，力F取到最小值；

当30°<θ≤90°时，随着θ的增大，sin(θ+φ)减小，力F将增大.

本题答案选D.

二、辅助角公式用于极值的求解

例2 如图3所示，长木板与地面的夹角为θ，一质量为m的小木块在与木板平行的拉力F作用下，沿木板向上运动，已知小木块和木板之间的摩擦系数为μ，若角度θ从0°到90°缓慢增大，且此过程中小木块始终沿木板向上做匀加速运动，试求此过程中，拉力F的最大值.

当0°≤θ<(90°-φ)时，随着θ的增大，sin(θ+φ)增大，力F增大；

当(90°-φ)<θ≤90°时，随着θ的增大，sin(θ+φ)减小，力F将减小.

三、辅助角公式用于物理量大小的比较

例3 如图5所示，质量相等的A、B两物体放在粗糙的水平面上，已知它们与地面间的摩擦系数相等，现给A施加一水平向右的力F1，给B施加一斜向右上方的力F2，使得A、B以相同的加速度向右移动了相同的位移(B未脱离地面)，在此过程中，拉力F1对A做功为W1，对B做功为W2，则F1、F2，W1、W2的大小关系是( ).

A.F1=F2，W1=W2B.F1>F2，W1>W2

C.F1W2D.力的大小无法比较，W1>W2

解析如图6所示，对A、B分别受力分析，根据牛顿第二定律有：

F1-μN1=ma……①

N1=mg……②

F2cosθ-μN2=ma……③

N2+F2sinθ=mg……④

联立以上各式可得：

F1=μmg+ma……⑤

F1>F2cosθ……⑦

设A、B两物体的位移均为S，根据功的定义有：W1=F1S……⑨

W2=F2Scosθ……⑩，有⑦式可知W1>W2，本题选D

辅助角公式通常应用于物理量变化趋势的判断、极值的求解、物理量大小的判断，熟练掌握辅助角等数学公式，对提高解题水平，开拓解题思路大有裨益.