高中数学运算能力培养策略

黄旭明

(福建省福安市第三中学 355002)

高中数学课程标准把运算能力作为数学的基本能力，指出：运算求解、数据处理的能力是数学思维能力的重要组成部分，是数学思维能力的具体表现.而高考中的大部分题目也是需要通过运算才能解决的.因此，在教学中应关注学生数学运算能力的培养策略.

一、落实运算的准确性

理解基本概念，明晰运算法则，掌握解题分析的一般原则，是进行运算求解的前提.

案例1 已知集合A、B、C满足A∪B=A∪C，那可能推得( ).

A.B=CB.A∩B=A∩C

在集合复习课上出示该题后，许多学生错选A.错解没有正确理解题意，认为B=C时一定有A∪B=A∪C,误把必要条件当成充分条件.实际上，A、B、C选项都不正确，这可以举特例或利用韦思图不难判断.而对于D选项，可以证明如下：

解题过程是通过分析、综合、比较、抽象、概括这一系列思维活动来完成的，而其中某个环节出现问题，将导致解题出错.这使学生再一次认识到，准确的基础知识加上严谨的思维对正确运算解题的重要性.

二、掌握运算的综合性

推理运算是与具体的数学知识相联系的，它是数学思想方法综合运用的体现.运算能力和空间想象、抽象概括、推理论证、数据处理等基本能力相互作用、相互支持的.

本题是课本必修1的12页一道题的变形.解答该题，要用到数学中的分类讨论思想、数形结合思想，要利用数轴求解不等式，再结合集合中的交集、并集、补集等一系列运算才能求解.这是对课本概念、知识，以及推理运算、思想方法的综合应用.对于学生，不但要知道怎样算，更要理清算理，掌握运算的综合性.通过这样的训练，使学生的观察能力、理解能力、联想能力、表述能力相互渗透，不断提升数学核心素养.

三、辨析运算的合理性

数学解题过程中，总要进行一些运算.由于思维起点、思维方向、思维途径的不同，对同一题目会产生出多种解题方法.

案例3 求过A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)三点的圆的方程.

这是数学教科书必修2P124A组2(2)题，在课堂展示该题后，让学生独立思考，然后展示交流.

生1:我考虑，要确定一个圆，需要知道圆心和半径，因此我选用圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.再把三个点的坐标代入方程中，然后解方程组求出a、b、r.

生2:我是用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，然后把三个点的坐标代入，解一次方程组，可求出D、E、F.

生3：我想到了圆的几何性质，圆内接三角形三条边的垂直平分线的交点是圆心，AB边垂直平分线方程是x=2，BC边垂直平分线方程是x-7y+5=0.两式联立，易求出圆心M(2，1)，半径|MA|=5.所以所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.

师：以上三个同学的解题思路都对.解答数学题，我们不但要注意解题的依据，方法，更应关注运算过程.请同学们对以上解法发表看法.

通过几个同学的发言评价，大家觉得生2的解题思路直接，选择的方程形式比较简单，解一次方程组的运算量也不大；生3把问题直观化，把代数与几何相结合(即数形结合)，所列方程组简单易解，解法最优.

解答数学题，不但要保证算理正确、方法可行、计算准确，更应优化思维、简化运算(也即多想些，少算些)，使得解题更加便捷合理.这需要学生在解题训练中，不断地交流鉴赏，比较分析，归纳总结，从而形成科学合理的解题思路.

四、培养运算的灵活性

解题过程的实施往往是通过运算来完成的.由于解题者思维品质、解题经验、观察角度的不同，导致了思维策略的差异，表现在知识联系、转换和运算过程，运算方法的选择和调整过程.在三角公式复习课上，我选用了1978年的一道高考题：

思路(求值法) 先来求出sin(α+2β)=1.由其展开式知需要求出sinα、cos2β、cosα、sin2β的值.观察题设两式，可得cos2β=3sin2α①和sin2β=3sinαcosα②.

这是当年高考的标准答案.完成后我问：同学们对以上解题思路有什么看法？请思考，学生们普遍感到这道题把三角的同角、和差倍半公式全考到了，真是不容易，解题过程很烦琐.能否改变思路，简化运算求解？一会儿就有学生举手示意.

生4：我想也可以通过计算cos(α+2β)=0来证明，而cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β.将上述的①和②式代入，立刻得到cos(α+2β)=0.这种解法就不用求出各三角式的具体值了.

学生们对生4的解法很是赞赏，真是少算而解.此时又一同学寻得另一新颖解法.

这种解法太简单了！简直是不算而解，令同学们称奇.

比较以上三种解题思路，从中规中举的思路1，到转换思维的思路2，再到灵活处理的思路3，显示了：多算→少算→不算的思维品质差异.通过这样的实例，使学生看到了其中蕴含的策略分析、化归转化等不同数学思维品质的真实展现，感悟了在解题目标引导下的三角公式的正用、逆用、变用、活用，培养了运算的灵活性.

五、开拓运算的创新性

新课标强调培养学生的创新意识，鼓励学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.而创新性思维是一种突破常规的思维方式，这种独特的思维常使人们产生独到的见解，做出具有特色的决策，从而获得意想不到的效果.

案例5 如图1，等腰直角△ABC的直角边长为a，∠C=90°,顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，求OA长的最大值.

在解析几何复习课上，我选用这道题让学生研究.2分钟后，学生们陆续说出了解题思路.

然后消去参数θ，怎么消呢？

学生们纷纷称赞生8综合解题能力强，水平高.

师：同学们的解法越来越好.我们知道，解析几何是用代数方法来研究几何问题，反过来，我们也可以用几何的方法来研究代数问题.请大家探究一下，这个问题中的图形有什么几何特征.

学生们惊叹生9的新奇而独特的想法，太妙了！

不难发现生9解法的创新之处：①代数问题↔几何问题；②动图形↔静图形；③挖掘出点O的几何特征.

创新性思维的产生是以直观、猜想和想象为基础的.教师在教学中应当鼓励学生广开思路，勇于探索，多多进行一题多解，一题多变，多题一解的训练，从中体会到思维的优化，运算的简化，创新的乐趣.

数学解题离不开运算，数学推理往往要通过运算来实现.培养学生的运算求解能力，应该从“扎实的基础知识，良好的运算策略，优秀的思维品质”三个方面来着手.为适应国家对开拓型、创新型人材的需求.在我们教师的辛苦努力下，学生的运算能力必有突破，数学核心素养也将进一步提升.