数学解题规避分类讨论的几种思路

王健发

(广东省惠州市华罗庚中学 516000)

分类讨论是一种重要的数学思想，不仅要灵活运用数学基本知识与方法，同时对思维的深刻性和严谨性提出了很高的要求. 活跃在各类考试的舞台上，综合性强，学生普遍感到棘手. 学生由于对分类原则考虑不全导致顾此失彼. 本文结合高中所学知识介绍几种规避分类讨论优化解题的思路，期望对大家有所帮助.

一、灵活运用公式

例1 解不等式|x+log2x|

解由|a+b|≤|a|+|b|，知当且仅当ab≥0时，等号成立，从而x·log2x<0.又x>0，所以log2x<0.故解集为x∈(0,1).

例2 设a>0,a≠0,0|loga(x+1)|.

证明因为00，lg(1-x2)<0.

又因为|loga(1-x)|-|loga(x+1)|

所以|loga(1-x)|>|loga(x+1)|.

例1和例2 都含有绝对值和对数，一般而言需要讨论绝对值内代数式的正负以及对数中底数a>1或0

二、变换主元

例3 若p∈R,且当|log2p|<2时，不等式px+1>2x-p恒成立，试求x的取值范围.

本题若用常规方法，以x为主元，则需分类讨论，而以p为主元，可避免讨论.

三、公式重组

例4 等比数列{an}的前n项和为Sn. 若S3+S6=2S9，求公比的实数值.

解由Sn=Sm+qmSn-m(n>m)，得S6=S3+q3S3，S9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3.

因为S3+S6=2S9，所以2S3+q3S3=2(S3+q3S3+q6S3)，即2q6S3+q3S3=0.

例5 等比数列前n项和为2，其后2n项的和为12，求再其后3n项的和.

解由已知得Sn=2，S3n-Sn=12，所以S3n=Sn+12=14.

又因为S3n=Sn+qnS2n=Sn+qn(Sn+qnSn)，所以14=2+2qn+2q2n，解得qn=2或qn=-3.

又S6n-S3n=(S3n+q3nS3n)-S3n=q3nS3n=14q3n，所以S6n-S3n=14·23=112或S6n-S3n=14·(-3)3=-378.

例4和例5涉及到等比数列和的问题，通常要对公比q分q=1和q≠1两种情形讨论. 但是，不论公比q是否为1，我们将等比数列和的公式进行重组之后，总有Sn=Sm+qmSn-m(n>m). 用此公式解决有关等比数的前n项和的问题，常可避免分类讨论.

四、否定思想

本题若从正面求解需分两种情况讨论：(1)两点都在椭圆外，(2)两点都在椭圆内. 若用命题的否定思想则不需要讨论，计算简洁. 对于题目中出现“至少”、“至多”、“无”等关联词，可通过命题的否定思想进行求解.

五、分离函数

例7 当-10恒成立，求实数a的取值范围.

解原命题等价于不等式x2-2x+3>2a(x+2)在-1

当直线绕着点(-2,0)顺时针旋转时也满足题设条件.

例8 已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(2)当x>0时,f(x)≥0恒成立, 求实数a的取值范围.

(2)当x>0时,f(x)≥0恒成立等价于ax2≤ex-1-x在区间(0,+∞)恒成立.

令y1=ax2,y2=ex-1-x, 即当x>0时, 函数y2=ex-1-x的图象恒在函数y1=ax2图象的上方.

因为当x>0时,y2′=ex-1>0, 所以函数y2=ex-1-x在(0,+∞)单调递增.

例7是求二次函数f(x)=x2-2(a+1)x+3-4a在(-1,1)上的最小值，需分三种情况进行讨论，例8需要画出f(x)=ex-1-x-ax2的图象，经分类讨论之后确定a的取值范围，过程不但比较复杂，而且容易出错. 但例7通过分离出一次函数求解，例8通过分离二次函数求解使得问题轻松求解.

充分运用分类讨论的思想方法解题，是解题的一个重要策略，也是训练逻辑思维能力的重要手段，提高整体把握问题意识的能力. 但在有些情况下，其过程较为繁琐，因此也容易造成解题中的失误. 故我们在掌握这一方法的同时，要灵活变通，克服思维定势带来的负迁移，学会简化或避免分类讨论，以达到方法上的优势互补.