巧用几何意义 妙解高考选做题——以全国Ⅱ卷为例

李昌成 曾 静 车燕昭

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

在全国高考数学理科Ⅱ卷中，选考内容是以解答题形式考查的.其中选修4-4极坐标与参数方程的题型相对稳定，备受考生欢迎.但是部分学生因为对极坐标中的ρ、θ，直线参数方程中的t的几何意义理解不到位，而采取逃避的办法，全部转化为普通的直角坐标方程作答，这是不科学的.本文从几何意义的角度，研究近年来Ⅱ卷相关的高考题，以飨读者.

一、利用ρ的几何意义解题

在极坐标系中，极径ρ表示平面内任意一点M到极点(原点)O的距离.恰当灵活运用这一几何意义可以方便快捷地解答很多高考选考解答题.

(1) 求C2的方程；

分析在第(2)中，射线是用极坐标形式给出的，因此我们应该将曲线C1、C2化成极坐标，利用极径ρ的几何意义求长度|AB|，如图1,|AB|=|OB|-|OA|.这样可以避免大量的运算.

解(1)略解得曲线C2的普通方程为x2+(y-4)2=16.

(2)由已知得，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ.

由(1)得，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.

例2 (2017年全国高考理科Ⅱ卷第23题)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程.

(2)略.

分析已知中|OM|、|OP|分别代表动点M、P的极径，而非一般的长度.我们可以将|OM|·|OP|=16等价转化为极坐标关系式，考虑到极角相同，这是一件容易操作的事.若受到问题中“直角坐标方程”的误导，解题会掉入陷阱.

所以C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).

因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

二、利用θ的几何意义解题

在极坐标系中，极角θ表示平面内以极点O为顶点，Ox为始边，OM为终边的∠xOM.恰当准确运用这一几何意义也可以方便快捷地解答很多高考选考解答题.

(1)求点A，B，C，D的直角坐标；

(2)略.

(1)求C的参数方程；

分析本题对极角的考查很深刻.已知中的半圆靠极角来确定具体位置，只有准确理解极角定义，才能找准极角位置，进一步确定究竟是什么位置的半圆，进而确定参数方程中的参数范围.否则两问都会因为极角几何意义而出错.

所以C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

三、利用t的几何意义解题

例5 (2016年全国高考理科Ⅱ卷第23题)在直线坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．

(1)略；

(1)略；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

分析在直线参数方程中，借助t的几何意义有t1+t2=0，以此为突破口可以做答.

解(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0①.

通过以上研究不难发现，充分利用极坐标中的ρ、θ，直线参数方程中的t的几何意义答题是比较方便快捷的，甚至用于处理一些圆锥曲线解答题也是一种技巧.掌握应用几何意义也是教学大纲和高考考纲的要求，值得关注.