例谈用三角换元法解重点大学自主招生试题

甘志国

(北京市丰台二中 100071)

一、前言

普通高中课程标准实验教科书《数学·选修4-4·A版·坐标系与参数方程》(人民教育出版社，2007年第2版)中介绍了圆、椭圆与双曲线的参数方程：

(1)若点P在圆x2+y2=r2(r>0)上，则可设点P的坐标是(rcosθ,rsinθ)；

二、举例及解析

下面将用以上结论来解答几道重点大学自主招生试题.

注:该题与下面的两道题如出一辙：

答案：A.

例2 (2017年清华大学能力测试(数学部分试题)，不定项选择题)若实数x,y满足5x2-y2-4xy=5，则2x2+y2的最小值是( ).

例3 (2015年清华大学领军计划数学测试第9题)已知非负实数x,y,z满足4x2+4y2+z2+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

还可得x,y,z∈[0,1]，因而5x≥4x2(当且仅当x=0时取等号)，4y≥4y2(当且仅当y=0或1时取等号)，3z≥z2+2z(当且仅当z=0或1时取等号)，所以

5x+4y+3z≥4x2+4y2+z2+2z=3,

5x+4y+3z≥3(当且仅当x=y=0,z=1时取等号),

即5x+4y+3z的最小值为3.

但此解法不能解决原问题.

可设a=-a′(a′>0)，得题设即

下面由线性规划知识来解此不等式组.

图1

注:下面给出该题结论的几何意义.

图2

图3