立足教材明晰方向<br/>——挖掘教材中有价值的数学问题

立足教材明晰方向
——挖掘教材中有价值的数学问题

2019-04-04徐照武

数理化解题研究 2019年10期

徐照武

(广东省珠海市实验中学 519000)

高考数学试题常常围绕考试大纲结合现用教材挖掘素材，这使得试题更具原创特点、更贴近学生实际，让学生在解题时对题目本身有似曾相识之感.实际上，命题者坚持的是选材源于教材，难度高于教材的指导思想.所以，平时教学或复习时就要立足教材，把教材中的概念、定义、定理、例习题等作为可能的试题源泉来研究，让课堂回归到数学教学的本质.

一、定义是最好的性质

数学定义是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本要素.

数学中的定义，特别是解析几何中的定义，常常是一种发生定义.这种定义方法实际上就是对发生过程的一种描述.

以下是一节高二课堂小结课(也可以作为高三第一轮复习课)的一个小片段(大约需要15分钟，老师最好在课前布置给学生以下自主学习内容：例1(1)除了课本解法外，还有没有其他解法？例1(2)要求尝试多种解法).

例1 (1)(人教社实验教材(下同)必修2第122页例5)已知线段AB的端点B的坐标为(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

(2)(2-1第37页习题2.1A4)过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

师：我们课前布置了例1的两个小题，请各小组用两分钟时间交流.

师：先请一名同学展示你们小组的情况.

师:很好，非常好！这个解法紧紧抓住了在运动过程中的定值(圆的半径)与定点(中点N)，快速找到了动点M的轨迹.同学们进一步想一想，(2)有没有简练的解法呢？

生：有.

师：好，这位同学，请说一下你的解法.

师：非常棒. 这个解法仍然紧紧抓住了在运动过程中的定值(OC)与定点(中点C′)，快速找到了动点M的轨迹.(以上题目可以结合几何画板等软件演示)

例2 (1)(1-1第42页习题2.1A7，2-1第49页习题2.2A7)如图3，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

(2)(1-1第54页习题2.2A5，2-1第62页习题2.3A5)如图4，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

师：来看例2.有了例1的求解过程，对于例2，也就水到渠成了.只要结合定圆的半径是定值及椭圆与双曲线的定义，相信大家很快就能把问题解决.

但要注意反思下面两个问题：一是(1)(2)的区别(点A在圆内与点A在圆外，垂直平分线l分为和半径OP及直线OP相交于点Q，多么美妙的一对姊妹题.这就是数学之美！)，二是(2)的轨迹为什么是两支？

先给出问题的结论：

其实研究过程也非常简单：

轨迹问题是解析几何的两大研究问题之一.教学时，既要考虑所有学生的数学基础，又要兼顾学生的个体差异.从最简单的情形出发，从最有利于学生数学学习的角度出发，可以让学生真正感受到数学的魅力与简洁美.以上这几个问题借助圆锥曲线(含圆)的定义都能顺利解决.(当然，利用圆锥曲线定义解题在教材及各种材料中都有非常好的归纳.)

定义是最好的性质.不但圆锥曲线的定义在解题时经常运用，离心率、等差等比数列、三角函数、斜率、向量的积等这些定义都会经常运用，并能简化解题过程.

二、尝试“小课题”研究

“小课题”研究既是一种综合性的实践活动，也是一种特殊的学习活动.开展“小课题”研究，让学生在学习过程中养成“问题即课题，学习即研究”的习惯，对于培养学生的研究意识和综合能力，促进其成长，提高学业水平，有非常积极的意义.这里的“小课题”，是加引号的“小课题”，与老师们做的“小课题”研究不是完全一样的.这里的研究目的主要是解决学生学习中出现的问题、困惑等，是以有利于他们的学习与能力的提高为目的.有时候，“小课题”甚至小到能很快解决的程度.我们也不妨把它理解为就是“研究性学习”吧!

教材是数学学科的核心教学材料，是教材编者集多代人智慧的结晶.我们要通过教材题目或材料背景进行创新，可以设问方式创新，研究角度创新，教与学方式创新等等，引导学生发现、探究、体验、反思、积累，做到举一反三，融会贯通.现行教材虽然基本上没有未解决的问题，但对于学生来说都是新鲜的.有时我们老师集几十年的“研究”仍然不能完全吃透教材与教法.下面这道课本例题，就很有研究价值.