一道恒成立问题的三种处理策略

杨苍洲

(福建省泉州第五中学城东校区 362000)

题目若关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A，且A⊆(2,+∞)，则整数k的最大值是____.

本题主要考查函数、导数及其应用、不等式等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、函数方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.本题具有一定的难度，是高考模拟题的填空压轴题.

求解本题时，从处理参数的角度看，常见的解题思路有：

(1)分离参数;

(2)半分离参数;

(3)不分离参数.

下面我们分别从这三个角度对本题进行分析与解.

一、分离参数

参数分离是处理恒成立问题的常见策略之一.当题干所给的等式或不等式含有多个变量时，往往通过恒等变形，把参数a与变量x完全分开，分别置于等式或不等式的两边；再把含变量x的一边构造成函数f(x)；最后通过研究动直线y=a与曲线y=f(x)的位置关系，从而得到参数a的取值范围.

所以g(x)在(2,+∞)单调递增.

又因为g(8)=4-2ln8<0，g(10)=6-2ln10>0，

所以存在t∈(8,10)，使得g(t)=0.

且当x∈(0,t)时，g(t)<0，f′(t)<0，f(x)单调递减；当x∈(t,+∞)时，g(t)>0，f′(t)>0，f(x)单调递增.

又因为k

二、半分离参数

“化生为熟”是常见的解题方向.我们常常考虑把题干所给式子分解成两个熟悉的函数f(x)，g(x)，其中f(x)不含参数a，g(x)为过定点的一次函数；然后以导数为工具研究函数f(x)的性质，并作出大致图象；最后通过研究动直线的运动情况，寻找满足条件的动直线，进而限制出参数a的取值范围.

解法二由x(1+lnx)+2k>kx，得x(1+lnx)>k(x-2).

令f(x)=x(1+lnx)(x>2)，则f′(x)=lnx+2>0.

所以f(x)在(2,+∞)单调递增.

f(x)的图象大致如图：

整理得，ek0-2-2k0=0(*)，其中k0>2+ln2.

令g(x)=ex-2-2x(x>2+ln2)，则g′(x)=ex-2-2>0.

所以g(x)在(2+ln2,+∞)单调递增.

又因为g(4)=e2-8<0，g(5)=e3-10>0，所以方程(*)存在唯一解k0，且k0∈(4,5).

由图可知k

三、不分离参数

当分离参数使得问题变得更加复杂时，我们往往考虑带参讨论.首先需要构造含参数a的函数f(x)，然后对参数a的不同取值进行讨论，并研究所对应的动曲线y=f(x)的不同性态，从中寻找满足题意的曲线，从而得到参数a的取值范围.

解法三由x(1+lnx)+2k>kx，得x(1+lnx)+2k-kx>0.

(1)当k≤1时，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)单调递增，f(x)>f(2)=1+ln2>0，满足题意；

(2)当k>1时，由f′(x)=0，得x=2k.

当x>2k时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当2

故fmin(x)=f(2k)=ln(2k)+2-k，所以ln(2k)+2-k>0(*).

又因为g(4)=ln8-2>0，g(5)=ln10-3<0，故存在t∈(4,5)，使得g(t)=0.

所以不等式(*)的解集为(2,t)，其中t∈(4,5).

综上述，k

又因为k∈Z，所以k的最大值为4.