全面透视问题 构造转化突破

于 祥

(江苏省扬州大学附属中学 225000)

构造法是数学解题中应用较为广泛的一种方法，构造即采用某种方式将抽象的问题直观化、形象化，然后按照一般方法求解的一种思维方法，可以用于函数、几何、数列、不等式等问题的求解.依据该方法的思想内容，在求解时首先需要根据题干的信息和条件构造出相应的内容，建立起数学关系，达到问题简化的目的.下面将举例探析构造法的解题应用.

一、构造函数方程

数学的函数与方程之间有着紧密的联系，在求解一些函数、方程或不等式问题时，若题干的问题与条件之间的关系不明确或难以直接获得解题思路，此时就可以考虑采用构造函数方程的方法.在构造函数方程时，首先需要分析题干中的数量关系和结构特征，在此基础上合理构建函数或方程式，然后统筹分析问题，突破求解.

例1 设函数f(x)在区间(0，+∞)上的导函数为f′(x)，如果f(x)和f′(x)满足如下关系：2f(x)+f′(x)=x，并且f(3)=0，则对于不等式f(3)>f(2x-1)，其解集为____.

点评上述题干给出了函数f(x)与其导函数f′(x)的关系式，然后通过构造新的函数来求解函数f(x)的解析式，通过分析单调性进而获得了不等式的解集.需要注意的是所构造的新函数与题干条件的关系式有着紧密的联系，是基于其结构特征所构造的，因此利用构造法求解问题时要注意对题干信息的分析与结构提取.

二、构造图形模型

数形结合法是高中数学常用的方法之一，该方法最为显著的特点是可以借助图形的直观性来分析抽象的数学问题，因此对于某些较为复杂的问题可以采用构造图形或几何模型的方法.构造图形模型实际上是用直观的图形来呈现题设数量关系的一种过程，在构建过程中不仅可以深度理解题干条件，还可以借助图形来挖掘问题隐含的条件，从而为后续的解题突破提供可能.

例2 已知直线l1的解析式为4x-3y+6=0，l2的解析式为x=-1，现抛物线y2=4x上有一动点P，设点P到直线l1的距离为d1，到直线l2的距离为d2，则距离之和d1+d2的最小值为____.

点评分析上述解题过程可知，正是直观图形的介入从而获得了抛物线准线的信息，对问题进行了转化，并有效利用直线最短原理达到了破题的目的.构建图形模型不仅可以有效提升解题效率，同时绘图的过程也是对条件深度理解和思维历练的过程.

三、构造特殊数列

数列是研究数学规律的重要工具，在求解某些代数问题时可以尝试采用构造数列的方法，利用数列的性质来深度研究问题.考虑到问题研究的便利性，在构造数列时尽可能构造一些特征鲜明的数列，如等差数列和等比数列，巧妙地利用数列的特征关系来对问题进行转化.

点评上述证明过程利用常见的等比数列求和来代换其中的代数式，然后借用数列的性质来求证问题，显然解题效果更为良好.因此在求解某些代数问题时可以合理利用特殊数列的通式或求和公式对问题条件进行转化，降低解题难度.

综上可知，利用构造思想，构造相应的模型是破开难题壁垒、拓展解题思路的一种有效途径.构造法实质上是基于知识联系构建的解题模型，无论是构造函数、图形还是数列等，都需要对知识模块的联系有着充分的理解.因此在平时应注重知识联系性的学习，构建完整的知识体系.