理趣，数学教学的内在追求

徐法焱

摘  要：数学教学应当让学生“明理”。“理趣”应当成为数学教学的内在追求。小学数学教学固然要凸显智趣、情趣、意趣，但更应凸显“理趣”。因为只有“明理”，才能让学生洞察数学知识的本质。教学中，教师可引导学生用生活实践诠释“理”，从形成过程推断“理”，以数学实验明晰“理”。进而，让“理”贯穿于数学教学的始终。

关键词：小学数学;数学理趣;内在追求

数学不仅是一门抽象性、演绎性的学科，也是一门实验性、归纳性的学科。无论怎样定位数学的学科属性，数学教与学都必须讲“理”。这里的“理”，既包括数学学科知识的来龙去脉，也包括数学学科知识中所蕴含的数学思想方法。对于小学数学来说，还包括数学知识所赖以存在的生活、实践的土壤。基于小学数学学科特质，数学教学应当追求一种“理趣”。换言之，在数学教学中，应当引导学生注重数学知识的演化逻辑、演化方法和演化证据。笔者结合日常数学教学实践，试谈小学数学教学如何讲“理”。

一、用生活实践诠释“理”

小学数学是一种生活化的数学。它源自生活又高于生活。对于一些数学知识，抽象的说教是无济于事的。教学中，教师可以借助生活实理来诠释“数理”、分析“数理”。有时，生活实践的旁敲侧击能让学生恍然大悟、茅塞顿开。

1. 借生活事件“析理”

生活是小学数学知识生成的源头活水。发掘生活中的一些事件，能促进学生对数学知识的理解。比如教学《周期问题》，如何让学生理解“周期现象”，掌握周期现象中的一个周期数、周期个数。教学中教师可以借助生活中的现象，如太阳的东升西落、一年的春夏秋冬、十二生肖轮回、校园里插的彩旗等生活事件、生活现象，帮助学生析“理”。当学生建立了“周期”的表象，理解了“周期”的内涵后，就能解决相关周期现象中的数学问题。

2. 借实践体验“明理”

实践是学生数学理解的最重要的方式。数学实践包括数学观察、数学操作等数学学习活动。通过实践，一方面能积累活动经验，另一方面能形成某些数学学习感悟。比如教学《减法的性质》，如何让学生理解“减去两个数的和”与“减去两个数的差”？从数理上直接解释，往往让学生坠入云里雾里、不知所云。而引导学生展开实践活动，就能让学生“明理”。先让学生将一本本子扔到室外，再将一本本子扔到室外，可换一种扔法吗？学生想到可以捆起来一起扔。口袋里有a元，先给营业员b元，营业员再找回c元，实际上给了营业员多少元？口袋里还剩多少元？通过角色扮演实践活动，学生能较深刻地理解“减法的性质”。当学生掌握了“减法性质”的内容和形式后，就能类比迁移出“除法的性质”了。

二、从形成过程推断“理”

如果說，生活实践诠释“理”，是借助外在因素追寻数学知识“理趣”的话，那么，从数学知识诞生的始末、数学知识的形成过程进行推理，就能让学生理解数学知识内在的、本然性之“理”。数学中的许多先前概念、规律、法则等都是学习数学新知、进行数学推理的重要依据。数学概念、定理等是不断衍生、发展的。

1. 借上位知识演绎推“理”

认知理论认为，学生的学习一般有两种方式——同化与顺应。在这个过程中，通常将抽象性、概括水平较高的知识称为上位知识，将抽象性和概括水平较低的知识称为下位知识。上位知识和下位知识在数学中是相对的。借助已有的上位知识，可以对新知进行演绎。比如学生学习了《长方形的面积公式》后，可以根据长方形与正方形的种属关系以及正方形的特征，直接演绎推理出正方形的面积公式。学习了《长方体的体积》后，学生同样可以根据长方体和正方体的种属关系以及正方体的特征，演绎推理出正方体的体积。演绎推理是学生数学学习的主要方式，不仅让学生理解知识的本质，更让学生牢固地建构起知识结构。

2. 借同位知识类比推“理”

所谓“同位知识”，是指在逻辑关系上平行，在知识内涵上相同或相近、相似的知识。借用同位知识，可以对许多相关知识进行类比。显然，同位知识有助于培育学生的数学猜想力。比如在小学数学中，“商不变的规律”“小数的性质”“分数的基本性质”以及“比的基本性质”等知识都有着亲缘关系。再比如，“整数加减法”“小数加减法”和“分数加减法”等知识也具有相似性。教学中，教师要引导学生比较同类知识的相同点，激发学生提出相应的数学猜想，引导学生对猜想进行验证。对于同位知识，教师要提炼出相同的数学本质。

3. 借下位知识归纳推“理”

某些数学知识之“理”，可以借用下位知识进行归纳，这里的归纳包括完全归纳和不完全归纳。完全归纳具有数学的严谨性，不完全归纳则需要进行相应的例证。比如对于《三角形的内角和》，教师既可以让学生进行实验探究，也可以引导学生借助下位知识进行推理。由于任意两个完全相同的直角三角形都可以拼接成长方形，因此直角三角形的内角和是180°;由于任意的锐角三角形和钝角三角形都可以沿着高分成两个直角三角形，所以任意的锐角三角形、钝角三角形的内角和都是180°;由于直角三角形、钝角三角形和锐角三角形的内角和是180°，所以三角形的内角和就是180°。在这个过程中，从长方形内角和演绎推理出直角三角形的内角和，然后由直角三角形的内角和演绎推理出锐角三角形、钝角三角形的内角和。最后，完全归纳出三角形的内角和。从特殊到一般，从具体到抽象，数学上位知识得以建构。

三、以数学实验明晰“理”

波利亚认为，“数学不仅是一门演绎科学，更是一门实验性、归纳性的科学。”著名学者傅鹰教授说：“实验是理性学科的最高法庭。”有时，借助数学实验，能让学生快速得出数学结论。从实验类别上看，数学实验分为模拟实验、对比实验、模型实验和想象实验等。在数学教学中，实验是学生明“理”的重要依据。因此，数学实验就是一种实证（包括证明和证伪）数学猜想、探究数学结论的过程。借助实验，学生能观察现象、分析推理、获得结论。

1. 观察寻“理”

观察是一种积极、主动、自觉的，有计划、比较持久的感知。观察与思维活动密切相关。因此，观察被称为“思维的感知”。俄国著名生物学家巴甫洛夫将科学研究界定为“观察、观察、再观察”。在数学教學中，许多实验需要操作与观察融合，但有的以操作为主、观察为辅，有的以观察为主、操作为辅。比如教学《成正比例的量》，笔者让学生在课件上描点。通过观察，学生惊奇地发现这些点都在同一条直线上。接着，笔者向学生展示越来越多的点，学生在观察中生发出一种连线的愿望。至此，从“数据整理”到“描点”“连线”，学生的数学学习像呼吸一样自然。最后，笔者启迪学生思考：两点确定一条直线，至少需要描几组数据的点呢？大部分学生认为，需要两组数据才能确定正比例的图像。但还有一些善于观察的学生认为，只需要一组数据就行了，因为这些直线都经过了原点，所以只需要再根据一组数据确定一个点，就能画出正比例的图像。试想，如果没有深入观察，学生会产生这样的创造性观点吗？

2. 操作寻“理”

数学学科中的“操作”不是机械的操作，而是融合学生身体感官在内的具身认知。也就是说，数学操作是融合学生数学思维的，是一种“做思共生”“做思融合”的手脑协同活动。欧拉说，“数学这门学科，需要观察，更需要实验。”比如教学《梯形的面积》，如果教师直接给学生提供两个完全相同的梯形，那么学生会基于三角形面积推导经验，轻松地推导出梯形的面积。但与此同时也束缚了学生的探究。为此，笔者在教学中，给同桌两个学生，一个提供两个完全相同的梯形，另一个只提供一个梯形。逼迫学生另辟蹊径，想更多方法去推导梯形的面积。于是，提供两个梯形的学生按照三角形的面积推导经验，进行旋转、平移;提供一个梯形的学生按照平行四边形的面积推导经验，沿着高将梯形剪开。探究过程集聚了学生的智慧，学生思维空间被打开了。有学生将梯形转化成平行四边形;有学生将梯形转化成长方形;还有学生将梯形转化成三角形，等等。借助操作，学生搭建了新旧知识的“金桥”，建立了数学知识的动态表征，深刻理解并掌握了数学知识的本质。

数学是“科学的皇后”，如果让我们给学科划界，数学应该属于“理科”。所以，数学教学应当讲“理”，应当追求“理趣”。基于数学学科特质，教学中教师可用生活实践诠释“理”，从知识形成过程推断“理”，以数学实验明晰“理”，让“理”贯穿于数学教学的始终。只有这样，数学课堂才会充满“理性味”“思考味”“数学味”。学生的数学逻辑思维、推理和探究能力才会得到不断地发展，学生的数学“核心素养”才会得到提升。