基于混合加权距离的毕达哥拉斯模糊TOPSIS多属性决策方法研究

曾守桢，穆志民

(1.宁波大学商学院，浙江 宁波 315211；2.复旦大学管理学院，上海 200433；3.天津农学院基础科学学院，天津 300384)

1 引言

距离测度是最常用的信息测度工具之一，主要用于反映变量或指标之间的差异程度或相似性，目前已在模糊识别、医疗诊断、聚类分析、图像处理和决策分析等多个领域得到广泛的应用。例如医生为病人诊断病情, 需要先查看病人的病情, 再与某种疾病的症状进行测度比对, 从而对症下药；再如，在群体共识中，通常需要计算个体偏好值与群体意见之间的距离，然后根据距离偏差程度确认个体与群体的共识程度。常见的距离测度主要是基于加权平均视角而构建的，如加权平均汉明距离、加权平均欧氏距离等[1]。而最近基于有序加权视角的距离测度方法引起了广大学者的兴趣，如基于有序加权平均(OWA)算子[2]的思路，Xu Zeshui和Chen Jian[1]首先提出了有序加权距离(OWD)测度，并研究了一种基于OWD的群体共识达成法，该方法的特点是专家可以根据实际问题的需要设置OWD测度的权重，进而增强或者缓解或大或小的差异在集成结果中的影响，从而能得到较理想的结果和较快达成共识。Merigó和Gil-Lafuente[3]则提出了有序加权平均距离测度，研究了其优良的特性和特殊形式，并将其应用于金融投资方案的决策中。在此基础上，诸多学者将OWD方法应用于不同的决策场景，如Xu Zeshui和Xia Meimei[4]将OWD方法应用于犹豫模糊情形中，提出了犹豫模糊OWD(HFOWD)测度；Merigó和Casanovas[5]将之与诱导变量相结合，提出了出了基于诱导变量的有序加权测度方法，得到了诱导有序加权平均测度，并研究了该测度方法在群体决策中的应用。Zeng Shouzhen和Su Weihua[6]则提出了直觉模糊OWD(IFOWD)测度及研究了其在金融决策中的应用；Zeng Shouzhen等[7]研究了基于概率的有序加权距离测度方法及其在区间多属性决策中的应用。Liu Huchen等[8]研究了基于二维区间信息的混合OWD测度并将之应用于医疗故障风险评价与分析。Zhou Ligang等[9]从连续性方面研究了OWD测度。更多关于有序加权测度的理论和应用研究可见文献[10-15]。

为改进传统模糊集[16]中仅考虑隶属度的缺陷，Atanassov在文献[17]中对传统的模糊集进行了拓展，提出了直觉模糊集的概念，其优点是可以同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度这三个方面信息的直觉模糊集。与传统模糊集相比，直觉模糊集更符合决策者对被评估对象表现出肯定、否定和犹豫的思维习惯，在处理模糊性和不确定问题方面更具灵活性和实用性。近20年来，直觉模糊集引起了众多研究者的重视和关注，相应的理论和应用研究成果也较丰富[18-22]。然而在直觉模糊决策的过程中, Yager[23]发现专家所给出的方案满足属性的隶属度和非隶属度之和往往会出现大于1的情况，此时，直觉模糊信息将无法正确地描述专家的偏好信息。为此，Yager提出了一种新的模糊集—毕达哥拉斯模糊集[23]，其特征是允许隶属度和非隶属度之和可以超过1, 但其平方和不超过1，从而使得专家不必因重新修改其直觉模糊评价值而中断决策过程。基于此优点，众多学者从不同角度对毕达哥拉斯模糊集进行了深入的拓展研究。较具代表性的，如Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]提出了毕达哥拉斯模糊运算规则，并给出了基于毕达哥拉斯模糊信息的TOPSIS方法；刘卫锋等[25]提出了一系列毕达哥拉斯模糊环境下的拟加权平均和拟加权几何集成方法；Zeng Shouzhen等[26]从平均加权和有序加权视角研究了达哥拉斯模糊距离测度方法及其在多属性决策中的应用。Peng Xindong和Yang Yong[27-28]分别研究了基于Choquet积分和基于区间值的毕达哥拉斯模糊集及其应用。Gou Xunjie等[29]从连续性方面研究了毕达哥拉斯模糊集的特征及其应用。Zhang Xiaolu[30-31]从相似度等方面对毕达哥拉斯模糊集进行了深入研究。

由以上文献可以看出，毕达哥拉斯模糊集理论和应用的研究成果日趋丰富，但目前尚未从有序加权视角研究毕达哥拉斯模糊距离测度方法，同时毕达哥拉斯模糊多属性决策方法体系也有待进完善研究。为此，本文将从有序加权视角研究毕达哥拉斯模糊距离测度及其多属性决策方法。本文的结构安排如下：首先, 提出毕达哥拉斯模糊有序加权距离(PFOWD)测度，并给出了其权重确认方法；其次，在PFOWD的基础上，提出了毕达哥拉斯模糊混合加权距离(PFHWD)测度，研究了其优点及其特殊形式；最后，提出了一种基于PFHWD-TOPSIS的毕达哥拉斯模糊多属性决策方法, 并通过案例应用说明其可行性和有效性。

2 预备知识

2.1 毕达哥拉斯模糊集

定义1[23]。设X为论域，则称

A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}

(1)

(2)

表示X中元素x属于A的犹豫度或不确定度。特别地，若πA(x)=0，∀x∈X，则A退化为Zadeh的传统模糊集。为便于表述，称α=(μα,vα)为毕达哥拉斯模糊数(PFN)[24]， 其中，

(3)

且设全体PFN的集合为Ω。

(1)若s(α1)

(2)若s(α1)=s(α2), 则

•若h(α1)

•若h(α1)>h(α2), 则α1>α2；

定义3[24]. 设α=(μα,vα),α1=(μα1,vα1) 和α2=(μα2,vα2)为任意三个PFN,λ>0，则其运算规则定义为:

定义4[24]. 设α1=(μα1,vα1)和α2=(μα2,vα2)为两个PFN，则称

dPFD(α1,α2)=

(4)

为α1和α2的距离测度。

2.2 有序加权距离测度

基于OWA算子[2]的思路，Xu和Chen[1]提出有序加权距离(OWD)测度，定义如下：

定义5. 对于实数集A={a1,a2,…,an}和B={b1,b2,…,bn}，记aj与bj之间的距离为d(aj,bj)=|aj-bj|，则

(5)

特别地，当λ=1和λ=2时，OWD测度分别称为有序加权平均(OWAD)[3]测度和有序加权Euclidean距离(OWED)测度：

(6)

(7)

OWD测度的特点在于它能通过分配或高或低的权重进而增强或者缓解或大或小的差异在集成结果中的影响。然而，上述有序距离测度只适用于所给信息为实数值时的情形，下面研究基于毕达哥拉斯模糊信息的有序加权距离测度。

3 主要结果

在毕达哥拉斯模糊数距离定义的基础上，我们首先定义毕达哥拉斯模集之间的加权距离。

(8)

显然，PFWD测度仅考虑待集成指标的重要性，没有体现出其所在位置的重要。为此，我们提出毕达哥拉斯模糊有序加权距离(PFOWD)测度，定义如下：

(9)

如何确定与PFOWD测度相关联的权重是一个非常关键的问题，从定义可以看出，PFOWD与OWA算子和OWD测度一样，其实质都是一种有序加权方法，因此关于OWA算子和OWD测度的权重求解方法同样适用于PFOWD测度，如最小二乘法和正态分布法[32]。根据PFOWD的特性，下面我们另外给出一种PFOWD的权重确定方法，设

(10)

和

(11)

并设

wj=

(12)

容易证明PFOWD算子具有一般集成算子的数学特征，如单调性、有界性、幂等性和交换性等。

由定义6和定义7可以看出，PFWD测度与PFOWD测度的本质区别在权重向量的确定，前者中的权重分配侧重于反映评价者对指标属性重要程度的判断，而后者则强调待集成数据的序权重。两者均仅考虑了权重分配的某一方面，都有一定的片面性。为克服上述缺点，笔者提出毕达哥拉斯模混合加权距离测度，定义如下：

(13)

特别地，当λ=1和λ=2时，对应的PFHWD测度分别称为毕达哥拉斯模糊混合加权汉明距离(PFHWHD)测度和毕达哥拉斯模糊混合加权欧氏距离(PFHWED)测度。可以证明PFWD和PFOWD都是PFHWD的特例。

定理1PFWD是PFHWD测度的一个特例。

证明：令w=(1/n,1/n,…,1/n)T和λ=1，则

定理证毕。

定理2PFOWD是PFHWD测度的一个特例。

证明：令ω=(1/n,1/n,…,1/n)T, 则

nωj(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ=(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ

定理证毕。

由定理1和定理2可知，PFHWD测度改进了PFWD和PFOWD测度的缺点，不仅能考虑每个数据的自身重要性程度，而且还体现了该数据所在位置的重要性程度。

4 基于PFHWD的毕达哥拉斯模糊TOPSIS多属性决策方法

则基于PFHWD-TOPSIS毕达哥拉斯模糊多属性决策方法步骤如下：

步骤1.构造毕达哥拉斯模糊决策矩阵R=(cj(xi))m×n，其中矩阵中的元素cj(xi)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)是一个毕达哥拉斯模糊数，为决策者给出的方案xi∈X关于属性cj∈C下的评估值。

步骤2. 利用公式(14)和(15)计算方案的毕达哥拉斯模糊正理想解A+和负理想解A-:

(14)

(15)

步骤3. 利用方程(13)分别计算方案xi(i=1,2,…,m)与正理想解A+和负理想解A-的混合加权距离PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)。

步骤4. 现有文献的TOPSIS方法中一般采用传统的贴进度函数来对方案进行排序[26,33-36]。然而文献[24,37]指出，传统贴近值最大的方案有时并不能同时满足与正理想解最近和与负理想解最远。基于此，本文提出一种新的计算方案xi的贴近度函数ζ(xi)(i=1,2,…,m):

(16)

其中

及

步骤5. 根据贴近度ζ(xi)的大小对方案xi(i=1,2,…,m) 择优排序，ζ(xi)越大，相应的方案xi(i=1,2,…,m)则越优。

注：Zhang Xiaolu和Xu Zeshui在文献[24]中提出了一种基于加权平均距离(PFWD)测度的毕达哥拉斯模糊TOPSIS (PFWD-TOPSIS)方法，即在上述步骤3中利用PFWD来计算方案xi(i=1,2,…,m)与正理想解A+和负理想解A-的距离。由于PFWD测度是PFHWD测度的一种特殊形式，因此Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS方法也是我们本文提出的PFHWWD-TOPSIS方法的一种特殊形式。事实上，根据PFHWD的参数λ和权重的取值变化，我们可以得到PFHWD的一系列特殊形式，从而可得到一系列基于PFHWD特殊形式TOPSIS方法，如PFWD-TOPSIS方法、PFHWHD-TOPSIS方法和PFHWED-TOPSIS方法等。

5 实例分析

近年来中国的高速铁路发展迅速，由于其快速便捷越来越受到乘客的欢迎，对国内航空市场造成了巨大的挑战。特别是在2008年全球经济低迷之后，越来越多的航空公司都试图通过降低价格来吸引顾客。但不幸的是，他们很快就发现这不是一个双赢的局面，只有良好的服务质量才是竞争生存的关键和基本要素。为了提高国内航空公司的服务质量，民用航空局建立了一个决策委员会来研究国内主要的四大航空公司[24]：北方航空公司(x1)、南方航空公司(x2)、东方航空公司(x3)、厦门航空公司(x4)。假设委员会根据以下四个主要指标属性来评估这四大航空公司：订票与售票服务(c1)、安检与登机服务(c2)，客舱服务(c3)和响应性服务(c4)。通过对四个评价指标重要性的问卷调查，确定属性指标的权重向量为ω=(0.15,0.25,0.35,

0.25)T。由于决策环境的复杂性和决策者自身知识、经验的有限性，本文假设该决策委员会用毕达哥拉斯模糊形式来表达他们对四大航空公司在其各个属性下的评估值，具体见表1。

依据上述决策信息，我们首先计算出毕达哥拉斯模糊正理想解A+和负理想解A-:

表1 毕达哥拉斯模糊决策矩阵

A+={(0.9,0.3), (0.9,0.2), (0.8,0.1), (0.7,0.4)}

A-={(0.4,0.7), (0.7,0.6), (0.5,0.8), (0.6,0.6)}

假设与PFHWD测度相关联的权重向量W=(0.1,0.35,0.3,0.25)T，且不失一般性，设λ=2，则可利用PFHWD计算方案xi(i=1,2,…,m)与正理想解A+和负理想解A-的混合加权距离PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)，并在此基础上利用公式(16)计算方案xi的贴近度ζ(xi)(i=1,2,…,m)，结果如下表2所示：

表2 基于PFHWD-TOPSIS方法的评价结果

因为ζ(x4)≻ζ(x2)≻ζ(x3)≻ζ(x1)，故四大航空公司的服务质量排序为：

x4≻x2≻x3≻x1，

即厦门航空公司(x4)为航空服务质量评价最高的航空公司。

下面我们采用Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS(λ=2)方法对本例题进行分析，计算结果如表3所示：

表3 基于PFWD-TOPSIS方法的评价结果

根据ζ(x3)≻ζ(x2)≻ζ(x4)≻ζ(x1)，航空公司的服务质量排序为：x3≻x2≻x4≻x1，由此可得东方航空公司(x3)为航空服务质量评价最高的航空公司，和本文提出的方法得出的结果不同。其主要原因是PFWD-TOPSIS方法中的PFWD测度只考虑了属性指标的重要性，并不能体现属性指标所在位置的重要性，从而得出有偏差的结果。

我们可进一步分析PFHWD测度中的参数λ的变化对贴近度函数和决策结果的影响，如图1所示，随着参数λ的变化，方案的贴近度函数也在变化，从而排序结果也会发生相应的变化。从图1可以看出当λ∈(0,1.55)时，南方航空公司(x2)可视为航空服务质量评价最高，当λ∈[1.55,6.02)，厦门航空公司(x4)可选为最优方案，而当λ≥6.02，东方航空公司(x3)的贴近度函数都比其他方案的都大，从而x3可作为最优方案。根据PFHWD中参数λ的数学特征可发现，λ的大小主要可用于体现决策者决策风险偏好的程度。

图1 候选方案的贴近度函数(基于参数λ的 PFHWD-TOPSIS)

由以上分析可知，本文提出的PFHWD-TOPSIS方法具有良好的性质，主要体现在：(1)该方法不但考虑了集成数据的重要性，而且能体现数据所在位置的重要性，从而可以增加或减低偏差过大或者过小的数据对集成结果的影响；(2)提出的新的贴进度函数可以改进现有方法的缺陷，能够同时满足最优方案距正理想解最近和与负理想解最远；(3)专家可根据实际需要和偏好选择合适的参数λ，从而为决策者提供了更多的选择机会，与其他方法相比更具决策柔性，其适用范围也更广泛。

6 结语

本文从有序加权视角研究了毕达哥拉斯模糊距离测度方法及其应用。首先，定义了毕达哥拉斯模糊有序加权距离测度，该距离测度能有效地消除过大或过小的不合理信息造成的误差，从而提高了测度方法的科学性与合理性。其次，在有序加权距离测度的基础上进一步提出了毕达哥拉斯模糊混合加权距离(PFHWD)测度，PFHWD不仅能体现每个数据的自身重要性程度，而且还突出了该数据所在位置的重要程度。再者，提出了一种基于PFHWD测度的毕达哥拉斯模糊TOPSIS多属性决策方法(PFHWD-TOPSIS)，其核心是利用PFHWD度量备选方案与正负理想解的距离，从而得到方案的贴近度，并根据其大小对方案进行排序与择优。该方法不仅计算简单，而且拓展了PFHWD的应用范围，丰富了已有的毕达哥拉斯模糊测度的研究成果。最后，案例分析结果也体现了本文所提方法具有很强的决策柔性和灵活性，决策者可以依据风险偏好和实际问题需要调节参数值λ，这一特性使该方法的适用范围更加广泛。

值得注意的是，本文提出的PFHWD不仅能有效与TOPSIS方法结合，改进现有TOPSIS方法的缺陷，而且还可广泛应用于各种群体决策与评价问题中，具有一定的推广价值。如在大规模群体决策活动中，由于专家的知识背景等差异，往往使得决策难以达成一致，而本文提出的PFHWD能有效地消除这种差异，帮助决策者快速达到群体共识，决策者还可根据评价目的与实际问题的需要选择PFHWD中适当的参数进行决策分析，从而提高决策结果的科学性与合理性。