触及数学知识本质的自主学习

2019-04-01顾亚龙

新教师 2019年1期

顾亚龙

【编者按】日常教学中，除接受学习外，学生动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。自主学习对学生创造性思维的培养有巨大的促进作用。我们倡导教师要发挥主导作用，并处理好讲授与学生自主学习间的关系，关注师生、生生间的有效交流，最终创设出能够引导学生触及知识本质，开展真实的自主学习。本期话题，我们围绕“创设触及知识本质的自主学习”这一问题来共同探讨。

数学学习方式与学习效果之间有着高度的相关性。有意义的接受是学生最基本的学习方式;但是，单一的接受式学习，特别是机械灌输式的接受，往往让学生觉得单调、枯燥，甚至会产生学生游离学习、虚假学习的现象。因此，作为教师，如何让学生“在”学习、“真”学习？如何让学生由浅表学习走向深度学习？如何让学生的学习能触及数学知识的本质？要做到这几点，不仅需要我们深刻领会数学学科的本质（因为，角度决定深度，眼界决定境界），变革知识本位，改变以教为中心的教学方式（因为，教的方式左右着学的方式），而且还需要我们有将理念转化为行动的实践智慧。

一、深刻理解数学学科的本质

学生的数学学习要触及知识的本质，作为数学教师，首先要对数学学科的本质有深刻的理解。数学是研究数量关系和空间形式的科学。但是，仅仅知道数学的研究对象是远远不够的。随着数学的迅猛发展，许多新的数学分支，如混沌、群论和数理逻辑等，已经不再局限于数量关系和空间形式的范疇。因此，数学专业研究者们一直在寻找关于数学的更加本质的定义。

1939年，英国数学家、哲学家怀特海在《数学与善》中率先指出：数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。1988年，美国数学联合会前主席斯蒂恩在《科学》杂志上发表的《模式的科学》一文中提出：数学是关于模式的科学。众多的数学家、哲学家都认为这是一个定位恰当的定义。这里的模式包括了“数量关系、空间形式、结构、模型”，与《义务教育数学课程标准（2011年版）》上关于数学的定义具有内在的兼容性，即：基础教育阶段的数学教学，不管是对数量关系还是空间形式的研究，都是对数学模式的研究，这是数学学科的本质所在。

从数学模式论的视角审视日常的数学教学实践，一个重要的启迪是：既然“数学是关于模式的科学”，那么，作为教育任务的数学教学，就不能被题海所遮蔽，不能止于显性的数学知识的习得，而是要基于知识，引导学生指向对数学模式的建构，指向对数学知识本质的理解。

这样的学科理解内在地启迪着教师“教什么”与“怎么教”，进而引导着学生“学什么”与“怎么学”，使得“基于知识，高于知识，注重实质，指向模式”成为教师理论自觉下的应然选择。

二、指向自主学习的三重追问

触及知识本质的自主学习，基本前提是“秉持儿童立场”。意即：①学习，归根结底是学生自己的事，自己的事就得自己干;②学生是天生的学习者，要相信学生能学、会学;③在课堂教学中要自觉尊重和捍卫学生的学习权。

将儿童立场转化为教学实践的具体路径不一而足，实践表明，兼具方向性与可操作性的至少有三重追问。

追问一：这个内容学生怎么学？

长期的教学习惯，使得教师在面对具体教学内容时的第一思考往往是“这个内容我怎么教”。这便使得教师的教学设计与课堂实施都必然是以“教为中心”展开的，学生的自主学习就无从谈起。因此，教师要不断突破自己教学的“舒适区”，首先追问“这个内容学生怎么学？其中哪些内容是学生易学能懂的？哪些是学生难学未懂的？”进而思考如何设计具有适度挑战性的学习任务单，前置到课前，让学生先独立尝试，自主探究。

一份具有适度挑战性的前置性的学习任务单，便为学生创造了自主学习的机会与空间;让学走在教的前面，让学生直面真问题，进行真思考，这不仅是学生走向“真学习”的第一步，而且，学生带着自己或正确或片面或错误的思考走进课堂，为新的课堂教学生成了丰富的资源。师生皆有备而来，使得教学能高开高走，让学生的学逐步走向高阶思维和深度学习，逐步触及知识的本质。

在具体教学板块的设计与实施上，对易学能懂的内容，采用低结构教学设计，便于学生的生生互动、自主学习。对于难学未懂的内容，则采用高结构设计，教师应及时介入，师班互动、辨析质疑、拓展延伸。低结构板块+高结构板块，高低搭配，辩证施教。

追问二：这个内容的数学本质是什么？

受考试文化的影响，日常的数学课常常是“就着知识教知识，围绕考点炒知识”，甚至要求学生能“一看到，就想到”。这样的刷题训练，让学生难以触及知识的本质。因此，在教学设计与实施的过程中，创设内在的、契合数学知识本质的问题情境，是引导学生触及知识本质的有效策略之一。

例如，在执教“圆的认识”这节课时，教师创设了这样一个问题情境：同学们开展野外寻宝活动，宝物在距离小明右脚两米处。如果用点O表示小明右脚的位置，用图上的1厘米表示实际长度1米，请你在图上画一画，找一找宝物可能在哪里？

随着学生在纸上描出的距离O点2厘米的点

不断增加，一个半径2厘米的圆形轨迹跃然纸上。

这个不断添加点的过程，巧妙地诠释了圆的本

质特征：圆，一中同长也。

对数学知识的本质认识并不一定要加深知识本身的难度，有时候，如果能在浅显中见深刻，往往更能让学生触及数学的本质，历练学生透过现象看本质的数学眼光。

师：观察一下，你发现了什么？

生1：我发现每道题中两个加数的计数单位是相同的。

生2：我发现相加时，只要把计数单位的个数相加，计数单位不变。

在同分母分数加法与整数加法之间建立起实质性联系;这样的设计，直指加法运算的本质，学生对计算法则的理解才通透明白。

因此，不论是教学设计还是课堂实施，教师不断地追问：本课的数学本质是什么？与其他知识有什么内在的联系？这有利于学生在相关知识间形成结构化认识，体会到数学内在的一致性。

追问三：本课知识目标之上的目标是什么？

教学目标，特别是显性的知识目标是教师们教学设计与实施的纲领，因而备受教师的关注。但是，这在一定程度上也会使教师的学科视野较为局促，只看到显性的知识，却弱化了对深层次思想方法和数学本质的思考。因此，在拟定教学目标时，教师应该自觉地追问自己：这节课（或本单元）知识目标之上的目标是什么？所谓“知识目标之上的目标”，是指通过这个内容的学习，对于学生适应未来社会发展和个人终身发展有着什么样的潜在价值。因此，所谓“知识目标之上的目标”，即素养目标。这种高观念下对学科本质的审视，有利于教师提升专业境界，能促进学生的学习不断触及知识的本质。

例如：“行程问题”的练习课。

在围绕（V1+V2）t=S进行变式训练的基础上，教师设计一组习题。

只列方程，不计算：

1. 一个水池能容水72吨，两个进水管同时向池内注水，A管每小时注水4吨，B管每小时注水5吨，多少小时注满全池？

2. 学校买20套桌椅一共花了4800元，每张桌子150元，每把椅子多少元？

3. 师徒两人共同加工54个零件。徒弟先做了2小时，每小时做6个，然后和师傅一起做。师傅每小时做15个，还需多少小时才能完成任务？

学生审每一道题，教师都追问：“这是我们今天研究的行程问题吗？”（学生意见不一）

三道题分别列方程如下：

1. 解：设x小时注满全池。

（4+5）x=72

2. 解：设每把椅子x元。

（150+x）×20=4800