围绕核心概念 突出通性通法

童卫华

[摘  要] 数学好题要有利于学习，帮助学生不仅掌握知识的运用，又洞悉知识的产生;有利于沟通知识之间的联系，完成知识重组，完善知识体系;有利于优化思维品质，提升理解层次，优化知识结构.

[关键词] 通性通法;解题方法;试题赏析;核心概念

试题呈现

（2018年杭州卷第22题）设二次函数y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常数，a≠0）.

（1）判断该二次函数图像与x轴交点的个数，说明理由.

（2）若该二次函数的图像经过A（-1， 4），B（0，-1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.

（3）若a+b<0，点P（2，m）（m>0）在该二次函数图像上，求证：a>0.

解法赏析

1. 关于第（1）问的解题方法

解法1：公式法（常规方法）. 当y=0时，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），因为Δ=b2-4a[-（a+b）]=（b+2a）2，所以当b+2a=0时，即Δ=0，函数图像与x轴只有一个交点;当b+2a≠0时，即Δ>0，函数图像与x轴有两个不同的交点.

解法2：因式分解法（十字相乘法）. 当y=0时，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），将方程利用十字相乘法分解得（x-1）（ax+a+b）=0，所以x=1，x=-. 当b=-2a时，x=1，此时x=x=1，函数图像与x轴只有一个交点;当b≠-2a时，x≠1，此时x≠x，函数图像与x轴有两个不同的交点.

解法3：因式分解法（分组分解法）. 当y=0时，ax2+bx-（a+b）=0（a≠0），将方程左边拆解，分组ax2+bx-（a+b）=（ax2-a）+（bx-b）=（x-1）（ax+a+b），所以（x-1）·（ax+a+b）=0，方程的解为x=1，x=-. 接下来同解法2.

解法4：观察函数解析式的系数特点，常数项是-（a+b），与二次项系数a，一次项系数b的和恰好互为相反数，所以猜测函数图像经过某一定点，当把x=1代入函数解析式时，发现y=a+b-（a+b）=0，即不论a，b取何值，函数都经过定点E（1，0）. 然后根据二次函数图像的对称性，当对称轴直线x=-≠1，即b+2a≠0时，函数图像与x轴有两个不同的交点;当对称轴直线x=-=1，即b+2a=0时，函数图像与x轴只有一个交点.

2. 关于第（2）问的解题方法

解法1：由（1）问的解法2，3，4可知，函数图像经过定点E（1，0），所以函数图像不可能经过点C（1，1），因此函数图像经过A（-1，4），B（0，-1）两点，从而a-b-（a+b）=4，

-（a+b）=-1， 解方程组得a=3，

b=-2， 所以函数解析式为y=3x2-2x-1.

解法2：当学生没有发现函数图像经过定点（1，0），就不能直接排除点C（1，1），这样学生只能分类讨论，分别把点A与点B、点A与点C、点B与点C这三组点分别代入二次函数求解析式. 在解方程组时，发现a+b-a-b=1即0=1不合理，检查后发现原因， C点在函数图像上这个假设不成立，应舍去. 所以只有将点A（1，4）和B（0，-1）代入时能求解，接下来同解法1.

3. 关于第（3）问的解题方法

点P（2，m）（m>0）在图像上，所以m=a×22+b×2-（a+b）=3a+b>0①，结合条件a+b<0②，有以下解法.

解法1：①-②得（3a+b）-（a+b）>0，所以a>0.

解法2：利用字母b“中转”，分别由①②可得3a>-b，a<-b，利用不等式传递性可得3a>-b>a，可得2a>0，所以a>0.

解法3：利用字母m“换元”，由①得b=m-3a③，把③代入②可得a+（m-3a）<0，從而2a>m>0，所以a>0.

解法4：结合函数图像，利用函数单调性判断. 由第（1）小题的解法2，3，4可知函数图像经过定点E（1，0），点P（2，m）（m>0），将条件a+b<0，转化为图像与纵轴的交点D（0，-a-b），这三个点分别在x轴的正半轴上，第一象限，y轴的正半轴上，大致位置如图1所示.

假设当a<0时，抛物线经过D（0，-a-b），E（1，0）两点时，如图2，图像不经过P点，因为根据二次函数的性质，当自变量x增大时，函数值变小，即当x=2，函数值为负数，所以不可能经过P点. 同理，当抛物线经过E（1，0），P（2，m）两点时，如图3，图像不经过D点. 当抛物线经过D（0，-a-b），P（2，m）两点时，如图4，图像不经过定点E，综上所述，当a<0时，抛物线不可能同时经过这三点，以退为进，排除可能性. 而当a>0时，抛物线可以同时经过这三点，如图5，所以a>0成立.

个性解读

1. 聚焦重点内容，核心素养的考查

试题设计聚焦初中数学的重点内容“二次函数”，考查了函数研究的基本方面：求解函数解析式，函数图像，涉及图像与坐标轴的交点（图像上的特殊点），图像的位置与函数解析式中系数的关系，函数的性质. 在问题解决的过程中，考查了运算能力，推理能力，模型思想. 其中试题第（1）问侧重运算素养的考查，具体解决方法为两种方案，方案一：定性分析，计算Δ，然后比较Δ与0的大小关系. 方案二：定量刻画，直接求解方程，不仅回答了交点的个数，还解决交点在哪里. 试题的第（2）问，在考查运算素养的同时，蕴含了逻辑推理能力的考查，C（1，1）这个点不在函数图像上，要求学生对“不合理的等式”能做出正确的判断. 第（3）问侧重逻辑推理能力的考查，在条件“a+b<0”和“点P（2，m）（m>0）在该二次函数图像上”的灵活处理中，尝试用不同的方法表述论证的过程，掌握数学模型进行数学推理.

2. 突出通性通法，思维层次的表达

试题中每一小问的解决反映了数学问题解决的通性通法，如第（1）问求二次函数与x轴的交点个数，只需转化成求一元二次方程解的个数来解决;第（2）题求二次函数的解析式中待定系数a，b，只需将图像上的两个已知点代入列方程组求解;第（3）题要求证“a>0”，可以借助不等式求解. 在具体的解答过程中，解法的多样性、灵活性和创造性适合不同层次、不同思维品质的学生需求. 如第（1）小题的解法2、解法3、解法4就体现了创新性，利用系数特点，结合函数的对称性，开创性地解决了问题，体现了创新意识. 第（2）题中的解法1和解法2实际上是同一种方法，但用解法1更能体现学生的整体意识. 第（3）题中的解法1、解法2、解法3都用到了不等式的知识，但是解法1用到了“a+b<0”这个整体，体现整体思想;解法2利用“b”中转，运用不等式的传递性，得到3a>-b>a;解法3利用“m”换元，结合“m>0”这个隐含条件，得到了2a>m>0，使不同学生的不同思维方式得以展示，不同的数学思想（整体思想、换元思想、类比思想）得以体现.

3. 关注问题结构，整体思想的把握

试题中有三小问，表面上看第（1）问，函数图像与x轴的交点个数，第（2）问，求函数解析式，第（3）问，证明a>0. 这三小问，分属于函数研究的三个方面，每个方面都对应着各自的通法. 但是這三个方面都是函数图像的一个方面，是函数图像的一个局部，因此我们可以将这三个问题当成一个整体，尝试利用图像法来解决问题. 有了这个想法后，再审视题干，二次函数y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常数，a≠0），只能从系数特点出发，发现它的不变性：过定点E（1，0）. 所以在解决本题的三个小问时都可以从这个隐含条件出发，于是第（1）题就有了解法4：利用函数经过定点，结合函数图像的对称性. 在第（2）题的解题过程中，既然发现过定点（1，0），就排除过点（1，1），直接用解法1. 在第（3）题的解题过程中，因为发现了过定点（1，0）这个隐含条件，结合题目中的两个条件：经过点P（2，m）（m>0）和a+b<0，就可以利用图像法，数形结合，直观地解决问题. 使学生深深体会到“数缺形时少直观，形缺数时难入微”以及“数形结合真奇妙”.

教学启示

1. 课堂教学时要注重数学素养的落实

初中数学素养可以理解成由以下“十个核心概念”组成：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.

在课堂教学时不仅要加强常规形代数式的化简、变形教学，使同学们掌握计算原理，同时更应加强关于x的代数式的化简、变形，如将代数式ax2+bx-（a+b）因式分解. 关于x的方程的求解，如ax2+bx-（a+b）=0（a≠0）（方程的解是一个代数式），字母x可以是一个数，如x=1，可以是整式，如x=a，也可以是代数式，如x=-，x=能促使学生较深刻地理解代数式，理解方程的解，实现从数字到字母，从算术到代数，从具体到抽象的跨越，让不同的学生在数学上得到不同的发展.

2. 习题讲解时要注重解题思路的提炼

习题的讲解不仅要解决问题，更应关注解法的由来. 你是怎么想到的？除了这种想法外还有别的想法吗？这些想法的区别和联系又是什么？能运用到别的问题中吗？关注习题中各小问之间的内在逻辑关系，它们之间的区别和联系在哪里？如文中的第（2）问与第（3）问，第（2）问解决的是方程求解问题，它通常的解题思路是什么？是消元，变二元为一元. 依据是什么？是等式的性质. 在解题时，通常还要用到整体思想，那么根据此想法，结合第（2）问分析第（3）问，我们会发现第（3）问的解法就会显得“顺理成章”，解二元一次方程的思路、解法、思想方法，就会顺势迁移到解二元一次不等式组上来.

3. 单元复习时要注重整体观念的把握

数学素养是通过单元教学来落实的，单元的复习教学对数学基础知识的夯实、解题方法的提炼、数学思想的体会起着重大作用. 因此在复习时，要引导学生从整体出发，分析该单元的核心内容和核心方法，以形成知识的网络化、结构化，防止知识的碎片化.

如“二次函数”这一章，我们更应把函数的图像看成一个载体，利用这个载体将二次函数的核心内容整合在一起. 本题中的（3）小问，既可以单独利用通法求解，也可以利用挖掘出的共性，利用图像法“一解到底”. 用一题多解的方式，从不同的角度复习相关知识，注重知识间的联系与区别，方法的类比和迁移，从多角度比较解题方法，能提升学生的整体观念，并在新情境下得到新的体验，学到新的解题方法，形成新的知识结构.