把数学问题还原为数学现象

程元元 孙四周

[摘 要] “问题是数学的心脏”. 课本上条件完备的数学题目把问题固定了，这样不利于全面培养学生的“问题意识”，提升数学素养. 把数学问题还原为数学现象，可以让学生从“数学事实”开始，先提出问题再解决问题，增强数学体验，促进领悟与反思. 那么如何有效地把数学问题还原为数学现象呢？有哪些价值所在？期间有哪些注意事项？文章尝试从以上三个角度进行剖析.

[关键词] 数学问题；数学现象；教学策略

什么是数学现象

先从数学问题谈起. 问题是数学的心脏，数学问题包括条件完备的封闭题和条件不完备的开放题. 在中学的教材和日常教学中，遇到的基本都是封闭题. “条件+任务”是标准的形态，这种题目非常有利于“双基”的教学，因此长期以来成为数学题的主要形式甚至是唯一形式，并且进一步促成了“问题解决”的教学模式的形式[1]. 但是这种问题形式跳过了从客观世界到数学模型的过程，是被加工过的，条件完备并且不多不少的理想化的数学模型，由条件到需要解决的问题都是明确的，学生因此也错过了一个数学化的过程[2]. 比如如何从已知的信息中筛选出解决问题所需要的东西？根据已知的条件，所选择的推理方向不同则可以得到不同的数学结果. 让学生经历这个数学化的过程，才能够真正培养学生的问题解决能力，促使学生掌握学习的方法，让学生从自己已有的知识出发，运用数学的方法去认知新事物，发现新东西，这才是我们经常提起的——不仅要教给学生知识，更要教给学生学习的方法[3].

现实世界呈现给我们的只是表象，问题及规律深藏在其背后[4]. 爱因斯坦曾说过“提出问题比解决问题更重要”，一切的研究都是从问题开始. 把客观事实呈现给学生，作为他们观察、探究、发问的素材，这种素材就是数学现象[5].

如何把数学问题还原为数学现象

常规的数学教学主要包括概念教学、定理教学、例（习）题教学等，其中例题教学几乎在各种课型中都有所涉及. 如果把封闭的例题适当地改变呈现方式，还原为数学现象，那么教学效果则会大大地提升. 那么如何把数学问题还原为数学现象呢？我们提出以下几种策略：

1. 隐藏任务，只呈现条件

案例1：（苏教版《数学（必修2）》第43页）在三棱锥P-ABC中，M，N分别是△PAB和△PBC的重心（图1），求证：MN∥平面ABC.

采用现象教学的方式，分阶段呈现：

（1）先呈现题干：在三棱锥P-ABC中，M，N分别是△PAB和△PBC的重心（图1）.

（2）让学生观察图1，教师追问：请想象一下MN与其他线面的关系.

（3）学生活动，发现了多个线面关系.

教师进一步追问：你认为MN与平面ABC平行吗？能否证明？

（4）学生很快就作出图2，问题也相应地解决了. 再强调一下，形成规范表达的能力.

（5）还有一对线面平行，你能找出来并证明吗？（MN∥平面PAC）

学生代表口述证明，其他人评判.

若是一次性呈现例题，解题的目标和思维的指向性非常明确，要证线面平行，根据线面平行的判定定理，学生会直接在平面ABC中寻找与MN平行的线，作出平行线并不困难，于是问题看似非常完美地解决了，而且速度也是非常快. 但是分阶段呈现，学生在不知道线面平行的前提下首先感知空间的线面关系，并对自己的结论给出证明. 学生经历了“感知——猜想——论证”这个发现和创新的全过程，积累了数学活动经验，培养了问题意识和创新意识.

2. 分階段的呈现条件

案例2：在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3，c=3. 求角A的大小并求边b的长.

在条件的呈现过程中，首先呈现tanB=2，接着教师问学生：这个条件实际上告诉了我们什么？可以求什么？这时学生根据“知一求二”的思想，大都能想到求出sinB和cosB，然后教师接着呈现tanC=3，这时学生不难类比可求角C的另外两个三角函数值，此时角A的求解就顺理成章了. 然后教师适时追问：三个角确定的三角形可以明确地画出来吗？引导学生联想相似三角形的理论，产生疑惑，激发继续探究的兴趣. 当学生一致认为三角形有多个，不能唯一确定的时候，就有一个强烈的欲望，要确定一边b，还缺边长的条件，这时教师再呈现条件c=3，学生的疑惑解除，能够非常顺利地完成解答.

整个过程层层递进，每个条件的呈现都激发学生已有的认知，和原有的知识之间产生联系，培养了发散思维. 在隐藏了一个边长条件的时候，三角形不能确定，无法确定边长b，和学生心目中完美的题目（每个题目都是可解的）产生碰撞，激发求知欲，让他们敢于怀疑题目的完整性，敢于质问，敢于挑战所谓的“权威”. 只有不盲目地接受教师教的东西，不盲目地相信课本，敢于怀疑，善于思考，才是一个真正有思想的人.

3. 只呈现任务和部分条件

比如案例1中，先把条件“N是△PBC的重心”拿掉，当N点不确定的时候，MN就变成了一个动线段，此时MN和平面ABC的位置关系就不确定了，引导学生反过来去研究，要使得MN∥平面ABC，需要寻找到特殊的N点的位置. 这样把一个静态的问题转变成一个动态的问题去研究，对学生的能力提升就大有裨益了. 培养了学生的逆向思维、特殊化思想.

4. 渐进式呈现解答

案例4：数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3an+1-1（n∈N*），且a1=2，求{an}的通项公式.

避免教师直接呈现题目的解答，首先呈现“若Sn=3an+1-1（n∈N*），且a1=2”，然后问学生：我们能知道什么？学生基本上会动手计算a2，a3，a4，进而再去求an. 在这个过程中，学生可能会碰壁多次，比如忽视n≥2，就认为数列是等比数列（其实不是等比数列）；比如由a2，a3，a4的值直接猜想an的通项公式，使用不完全归纳；比如最后的结果不写成分段的形式，等等. 虽然一波三折，困难重重，但是学生不断地碰壁、不断地试错，直至问题由模糊到清晰，亲历了先错后对的解题过程，才真正内化成为自己的知识.

把数学问题还原为数学现象的教学价值所在

传统的问题教学固然有它的优势所在，可以让学生在短时间内聚焦所要解决的问题，执果索因或者由因及果，快速而准确地实现问题的达成，但是弊端也逐渐地凸显. 纯粹的具体的例题（习题）教学，学生所解决的都是一个个独立的个体，题目与题目之间的联系，本质上的区分就没有那么明显，学生知其然而不知其所以然，这也就直接导致一个常见的现象：教师抱怨“一道题目讲了好多遍，下次碰到还是错”；学生出现“一听就会，一做就错”. 但是现象教学恰好地弥补了这个不足. 在教学过程中呈现给学生的是数学现象，学生面对现象时就可以产生不同的解读，不同结构形式的数学化，从不同的角度可以衍生出不同的结论，这个过程是一个探究的过程、体验的过程、发现的过程，也是一个审美的过程. 每一个孩子都可以是一个发现者、一个发明者，试问：让学生自己主动探究所得，和把学生当作被动接受知识的机器，二者相比，哪个更加是我们需要的教育呢？答案不言而喻.

打个比方，如果我们想给孩子传递一个信息——奔流而下的滔滔黄河，有两种方式，一种是电视机上声音加图片的播放，直接给孩子视觉、听觉的输入，这样的就是奔流而下、波澜壮阔的黄河；另外一种是书本上文字的描述，波浪滚滚，奔腾而下，随着地势的落差，滚滚黄河水带着巨大的声响冲向下面，溅起水花多多……这样在文字展现的同时，孩子自己自然会在脑海中进行再加工，才能体现出文字所描述的壮观景象，这种文字展现的方式也就是现象的呈现，而电视的展示就是知识的直接输出. 所以有学者提出：看电视可以使孩子变笨，而读书可以使孩子变聪明. 这个道理和我们所提的现象教学确实有异曲同工之处.

需要注意的问题

1. 不是所有的问题都需要还原为数学现象

虽然我们提出现象教学的种种益处，但是并不是对传统问题教学的否定，而是一种升华. 我们不否认问题教学的种种优势，相反在课堂教学中更是需要经常使用. 在问题的设计中，在呈现方式上，以及在解答过程中，若是能够结合现象教学，才能真正落实当下中学阶段的教育目标，为学生继续进一步的学习打下基础，教会他们学习的方法，使得学生具备终生学习的能力.

2. 数学问题还原成怎样的数学现象需要“因地制宜”

既然我们的教学面对的是学生，那么不同的学生就有不同的口味、不同的基础、不同的能力，因此在教学素材的准备上就要因地制宜、因生制宜. 受客观条件的限制，现在普遍实行班级化教学，起码不同的班级，要有不同的考虑. 程度比较好的学生，在把数学问题还原为数学现象的时候，可以更加的灵活化. 比如案例1中的问题，教师可以引导：在这个三棱锥模型中，我们可以研究哪些位置关系？然后让学生自己提出问题，这时学生的产出就多样化了，有可能从线面位置关系、面面位置关系、线面角、面面角，甚至表面积、体积等角度研究，然后教师再逐步缩小研究的范围. 有了这个研究过程，如果后面改变三棱锥的摆放位置，相信学生也能够轻而易举地完成. 相反的，如果程度稍微差一些的學生，教师的线就可以收紧一些了，比如直接提出：想象一下，MN与其他线面的位置关系. 对于思维没有那么开放、灵活的学生，防止问题过于松散，学生一脸雾水，不知从何说起，最佳的设计应该是在学生的最近发展区做文章.

总之，如何把数学问题还原为数学现象，是一个实践性的课题，需要教师在实践中逐步摸索，把握好度，以实现更完整的教学.

参考文献：

[1] 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 上海：上海教育出版社，1995.

[2] 徐章韬，梅全雄. 论基于课堂教学的数学探究性学习[J]. 数学教育学报，2013（6）.

[3] 祁平. 基于探究的数学教学的哲学思索[J]. 数学通报，2014，53（8）：22-28.

[4] 聂必凯，郑耀庭等. 美国现代数学教育改革[M]. 北京：人民教育出版社，2010.

[5] 弗赖登塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，1999.