数兮，形兮，相得益彰

李胜捷

【摘要】“数形结合”思想是数学王国中的一座高峰，千百年来它随着“数”与“形”的发展而不断丰富、精深.伴着新课程研究实践的不断深入，它不朽的魅力又重现世间.本文通过对六年级“数与形”课例的研究，阐述、推广“数形结合”这一思想，为小学数学教学的发展尽一点绵薄之力.

【关键词】数；形；数形结合；数感

“数兮形之所倚，形兮数之所伏.”一语惊醒梦中人……

一、“数形结合”之前世今生

夫数者，世间量之表征也；夫形者，空间形式及其数量间关系之称也.此二者是数学王国中最古老，最基本的研究对象.数与形既各自开山立派，欣欣向荣，同时两者又同气连枝，相存相依，在一定条件下还可以相互转化、互为印证，联系可谓千丝万缕.这血脉相连的关系就是我们常说的——数形结合.它意蕴深厚、源远流长，其诞生可以追溯到“数”“形”产生之初.千百年来，后继者不断探索它，丰富它，使它成为数学王国中的一座高峰.

“数”“形”在小学阶段分别以“数与代數”“空间与图形”为统称；数学新课程标准在总体目标中提出：要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”.

“数与形”一课是人教版教科书六年级上册第八单元“数学广角”的内容，其意图是让学生通过数与形的对照，探究发现图形中隐藏的数的规律，进一步体会数与形之间的内在联系，感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性，并能把数形结合的思想迁移到解决其他一些实际问题，帮助学生积累经验，发展核心素养.

二、“数形结合”之雾里看花

“数形结合”这个词语浅显易懂，即使不是专门从事数学教育或研究的人也只能知之大概，但是您真能解释得清楚它吗？很难！何故？因为它很“玄”.“玄”在哪呢？“玄”在它不像“数”或者“形”那样是看得见、摸得着、物化的，“数形结合”阐释的是一种联系，一种思想，一种策略，古往今来，兴许有赏识它的伯乐，但是更多的时候我们感觉它还是像镜中月、水中花那样，可远观而不可亵玩焉.

于是，一线教师在教学和反思中常常会有这样连串的困扰：第一学段：“数形结合”中是“数”先，还是“形”先？教师在数学教学中如何充分渗透数形结合的思想？通过直观的图形揭示数，是否影响了学生的抽象思维能力？第二学段：如何在教学中很好地通过数抽象出图形、解决问题？数学课堂中能否建立一种（数—形—数）或（形—数—形）的“普世的”数学教学模式？数形怎样结合才能更好地促进学生的主动发展？林林总总，不一而足……

“数形结合”在一片纷繁的嘈杂声中似乎被说得更“玄”了，力挺声中也夹杂着质疑的声响：难道“数形结合”真的这么重要吗？

三、“数形结合”之舍我其谁

数学家华罗庚先生曾经有诗曰：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”.其重要性跃然纸上，笔者结合六年级“数与形”，发现数形结合有如下“三好”.

（一）变“一知半解”为“入木三分”

在课的导入部分，让孩子说说数学是一门怎样的学科？孩子们的发言是松散，碎片式的，教师再出示如下三幅图，让孩子说说看到了什么？和数学有什么联系？从而使形象思维和抽象思维相结合，也给后进的孩子一个平台，使得数学研究的对象“数”与“形”，以及两者的联系，深入孩子的心田.

【设计意图：新课的导入，联系生活，拉近学生距离.通过旧知，唤起学生对数与形的感知，初步建立数与形结合的思想.】

在课的结束部分，让孩子说说生活中有哪些数形结合的应用，教师再举例子.

【设计意图：适时地介绍一些小知识，激发学生对数形结合的研究兴趣.通过回忆旧知，唤起相关活动记忆，沟通本节课与过去学习的内在联系.让学生感受到数形结合的学习方法并不陌生，它将一直伴随着我们的学习.】

（二）变“机械学习”为“合理建构”

在探究例1，发现规律中，让小正方形来拼出更大的正方形，从中发现数与形的奥秘.

① 学生在小组内完成学习单中的想一想、拼一拼、算一算、议一议.

② 学生以小组为单位把拼图呈现在黑板上，并汇报.

结合图形发现算式中的特点：从1开始，连续奇数相加，有几个这样的奇数和就是几的平方.

2.验证规律：结合图形总结得出：从1开始连续奇数相加，有几个这样的奇数拼出的图形就有几行几列，也就是几的平方.

3.写写填填.

1+3+5+7=（ ）2

1+3+5+7+9+11+13=（ ）2

=92

请你根据例1的结论算一算.

1+3+5+7+5+3+1=（ ）

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）

【设计意图：让学生通过想一想、拼一拼、算一算、议一议，亲历了从“形”到“数”的过程，能直观地发现“形”与“数”的关系.结合图形与算式发现计算规律，并且能应用规律来解决一些计算问题.让学生初次体验“形”能直观解释“数”的计算，从而体验成功的乐趣.】

（三）变“山穷水尽”为“柳暗花明”

数形结合，能有效防止“生搬硬套”或“一棵树上吊死”，能很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题.

在学习教学例2中，计算12+14+18+116+132+164+….单纯给孩子们题目，学生感到无从下手，这时，教师引导学生画圆，画线段，画正方体，用自己喜欢的方式试着去计算，就能发现规律，解决问题.

【设计意图：教学时，观察、讨论相结合，引导学生借助不同的几何图形解决例题中的代数问题，把抽象的代数问题形象化，使其直观、简洁、易懂，使学生在理解、掌握例题中数与形关系的基础上，充分体会用数形结合方法解决问题的直观性，感悟数学的极限思想.】

综上三例，我们发现“数形结合”思想（方法）在数学学习中有着无可比拟的优越性和不可撼动的地位，他对学生数学知识的构建、数感的培养、数学学习方法的获得都有积极而深远的意义.

四、“数形结合”之适得其法

数形结合虽好，但怎么用却是很有讲究的，用不得法，往往得不到臆想的效果.在教学过程中，应该慎重考虑“先形后数”还是“先数后形”.如何把握呢？要根据教材的特点和学生的思维水平而定.

1.就教材内容而言，对较新、较难的教学内容、对学习较困难的学生可先形后数，借助图形直观、形象的特点，来表示数或数量之间的关系；对后续教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形.

2.就学生的年龄特征而言.第一学段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对逻辑思维能力较强的第二学段的学生，应该逐步过渡到先数后形，如，在教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，揭示出面积变化的规律；在教学分数应用题时，让学生通过准确的线段图，很快找出单位“l”，量和量所对应的分率，确定解题的方法，从而提高学生的逻辑思维能力和解决数学问题的能力.

五、“数形结合”之发扬光大

（一）注重在数学教学中渗透“数形结合”的思想

现行教材和《课标》，注重了知识、能力、数学活动经验、数学教学思想的培养，而数学思想的核心是数学本质，要揭示数学本质，主要阐述知识之间的内在联系、注重规律的发现过程、数学思想方法的渗透、理性知识的应用等，并应用发现的规律来解决实际问题.

在数学教学中，教师要注重研读教材、钻研教材，要充分利用教材中的主题图，让学生通过“形”找出解决问题的“数”.在平时的教学工作中，引导学生主动而有效利用教材中的主题图或其他图形，从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题增强对数形结合思维模式的认知，体会图形教学对数学知识形成的意义，注意加强数形结合思想的渗透，关注学生数形结合思维能力的提高，从而培养学生的数感和图形与空间观念的认知能力.

（二）注重对学生数形结合学习方式的应用指导

在课堂教学中，数与形两者不能截然分开，要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思數，帮助记忆；数形对照，加深理解；数形联系，以利解题；以形载数，以数量形；数形互释，图文并茂.把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的终结目标.在知识的形成过程中，突出形象的感觉、形象的储存、形象的判断、形象的创造和形象的描述，重视有效的动手操作和情境的创设，让学生动手、动跟、动口，多种感官参加学习，使操作、观察等有机结合，激发学生多向思维.

（三）注重让学生养成数形结合的良好习惯

我们在学习简单的解决问题、认识整数、分数、小数的意义以及加、减、乘、除的意义及计算时，在解决分数应用题时，就要求学生画出线段图来.在学习了平面图形、立体图形以及它们的周长、面积、表面积、体积发生变化时，都要求学生画出图形，用“形”来理解它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”.经过长期的训练，让学生养成数形结合的好习惯，提高学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一.

综上所述，“数形结合”是学生学习数学过程中一种至关重要的思想方法，它贯穿于学生数学学习的始终，它的内隐性、弥散性、普遍性使得学生往往是在“不知不觉地”接受了隐含于其中的教育，在潜移默化中使自己的数学构建得到提升.正确充分合理地运用“数形结合”思想能使学生更科学地搭建数学知识结构，培养数感，养成良好的学习习惯，这对提高他们的数学素养能起到关键的作用.因此，广大教育工作者应更重视“数形结合”思想的研究与实践，不断丰富它的新内涵，从而为数学教育事业贡献自己的绵薄之力.

【参考文献】

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[4]张硕，石俊娟.关于中学数学思想方法教学的思考.[J].数学通报，2007（11）：16-19.